1 加减法竖式数字谜进阶

1.1 知识导引

1. 加减法的竖式数字谜;

2. 填空格及含有字母的数字谜问题。

1.2 知识点梳理

1.2.1 一、数字谜类竖式分析

1. 加法竖式:

(1)进位分析法:越加越小有进位;

(2)首位分析法:“黄金三角 109” (条件:①两数相加，

②楼梯形)。

2. 减法竖式:

退位分析法:越减越大有退位。

1.2.2 二、注意

1. 两个相同的一位数相加, 结果为偶数。若为奇数, 有进位。

2. 三个相同的一位数相加,结果的个位 $0\sim 9$ 各出现一次。

3. 四位数减三位数差为 1 , 一定是 1000-999 = 1 。

4. 当有两种可能时,分类讨论。

1.3 好方法 1

加减法进退位数字谜

①越加越小，必有进位

② 越减越大，必有退位

1.3.1 典题精讲

1.3.1.1 例 1

在空格内填入适当的数字, 使图中的竖式成立。

(1)

(2)

1.3.1.2 【解析】

(1)从个位看起, $4+\square =2$ ,越加越小,说明有进位,即 $4+\square =12$ , 个位 $\square$ 填 $8;\square +5+$ 进位 $1=5$ ，越加越小，说明有进位，即 $\square +5+1=$ 15，十位□填 9 ；3 + □ 十进位 1 = 1，越加越小，说明有进位，即 3 + □ + 1 $=11$ ，百位□填 7；千位□填 1。如下图所示:

(2)从个位看起, $\square -4=2,\square =4+2$ ,个位 $\square$ 填 6 ; $2-\square =5$ ,越减越大,说明有借位,即 $12-\square =5$ ,十位 $\square$ 填 $7;\square -2=1$ ,又被借 1,即 $\square =2+1+1$ ，百位

1.3.2 举一反三

1.3.2.1 练习 1

在空格内填入适当的数字, 使图中的竖式成立。

(1) (2)

1.3.2.2 练习 2

在空格内填入适当的数字, 使图中的加法竖式成立。

1.3.3 挑战自我

1.3.3.1 练习 3

牛牛在丁丁和田田的帮助下，把自己的竖式完成了。乐乐老师知道这件事后，给大家出了几道题:在下图的每个___内填入 2 ~ 6 这 5 个数字中的一个，使其成为正确的加法竖式，那么这 9 个 的数字之和是多少?

1.4 好方法 2

黄金三角 “109”

①两数相加或相减

②楼梯型

1.4.1 典题精讲

1.4.1.1 例 2

在空格内填入适当的数字, 使图中的竖式成立。

(1)

• 4

1.4.1.2 【解析】

(1)方法一:从个位看起， $\square +4=3$ ，越加越小有进位，即个位 $\square =9;7+\square +$ 进位 $1=5$ ,越加越小有进位,即十位 $\square =7$ ; 千位没有数相加, 说明只能从百位进位,而百位也有进位,百位 $\square +$ 进位 $1=\square$ 且有进位, 说明百位加数 $\square =9$ ，得数 $\square =0$ ，千位 $\square =1$ 。

方法二:观察竖式，两个数相加，整体呈楼梯形，可以填出千位及百位“109”，再用进位分析法完成十位和个位空格。如图所示:

(2)找到“黄金三角 109”，千位填 1，百位被减数填 0，百位减数填 9， 且均有借位; $\square -4=7,\square =4+7=11$ ,个位 $\square$ 填 1,且有借位; 十位 8 被借 1 剩 7 , 还要借位即 17 - $\square =9$ ，十位 $\square =8$ 。如图所示:

1.4.2 举一反三

1.4.2.1 练习 4

在空格内填入适当的数字, 使图中的竖式成立。

1.4.2.2 练习 5

在空格内填入适当的数字, 使图中的减法竖式成立。

1.4.3 挑战自我

1.4.3.1 练习 6

丁丁看到上面的题目，说这道题对于牛牛来说有点难了，打算给牛牛挑战一道简单一点的:在下图的空格内填入适当的数字，使图中的加法竖式成立。

1.5 好方法 3

连续竖式数字谜

四位数减三位数差为 1,只有 1000 - 999 = 1

1.5.1 典题精讲

1.5.1.1 例 3

在下面算式的空格内填入合适的数字, 使竖式成立。

1.5.1.2 【解析】

突破口在减法竖式，四位数减三位数差为 1 ，所以一定是 1000 - 999 =1。观察加法部分特点:两个3位数相加，个位、十位、百位每个位置分别知道 1 个数，将第 1 个数字的十位与第 2 个数字的十位换位置，加法变为:☐☐☐+ 266 = 1000。所以，第一个加数为:1000-266 = 734。将计算结果写到对应位置，如图:

1.5.2 举一反三

1.5.2.1 练习 7

在图中的空格内填入适当的数字, 使竖式成立。

1.5.2.2 练习 8

在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。

1.5.3 挑战自我

1.5.3.1 练习 9

机器人阿普看到牛牛也能做出一道像样的题目，便从角落里跑出来，说也要学牛牛，认真地做一道题:在下图的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，A，B，C各为多少时，算式成立？

1.6 好方法 4

汉字型数字谜

①双胞胎相加，结果是偶数(若无进位)

②三胞胎相加，0-9 各出现一次

③四胞胎根据乘法口诀推断

1.6.1 典题精讲

1.6.1.1 例 4

在下图的竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字, 每个汉字代表什么数时, 竖算式成立?

1.6.1.2 【解析】

从个位考虑,4 个“生”相加个位是 6 , 生 =4 进位 1 , 或生 =9 进位 3 ; 若生=4 不能找到满足的“学”,所以生=9 。3 个“学”加 3 的得数个位为 1 , 尝试可得学生6 , 进位 2 ; 好十好十 2 得数个位为 0 , 好不为 0 , 且最多进 1,即三 $=1$ ,好 $=4$ 。

1.6.2 举一反三

1.6.2.1 练习 10

在下面的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，使得算式成立。那么，四位数“望子成龙”是多少？

1.6.2.2 练习 11

在下图的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字, 每个汉字代表什么数字时算式成立?

1.6.3 挑战自我

1.6.3.1 练习 12

旁边的田田看到大家都很快地完成了一些竖式数字谜，自己也不甘落后，做了下面一道题:在下图的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字, A, B, C, D, E 各为多少时, 算式成立?

1.7 好方法 5

字母型数字谜 (1)

当有两种可能时, 分类讨论

1.7.1 典题精讲

1.7.1.1 例 5

下面算式中, 相同字母代表相同数字, 不同字母代表不同数字。那么，“EDCAD”代表的数是多少？

1.7.1.2 【解析】

由于四位数加上四位数其和为五位数,所以可确定和的首位数字 $\mathrm{E}=1$ 。又因为个位上 $\mathrm{D}+\mathrm{D}=\mathrm{D}$ ,所以 $\mathrm{D}=0$ 。此时算式为:

下面分两种情况进行讨论:

(1)若百位没有向千位进位，则由千位可确定 $\mathrm{A}=9$ ，由十位可确定 $\mathrm{C}=8$ ,由百位可确定 $\mathrm{B}=4$ 。因此得到竖式的一个解:

(2)若百位向千位有进位，则由千位可确定 $\mathrm{A}=8$ ，由十位可确定 $\mathrm{C}$ =7，百位上 B 不能找到合理的数，因此此情况不成立。所以 EDCAD $=10890$

1.7.2 举一反三

1.7.2.1 练习 13

如下图，算式中不同的汉字代表不同的数字，已知:“级=5”，那么“学而思”代表的三位数是多少？

1.7.2.2 练习 14

下图是一个加法竖式，其中 $△$ 、 $\square$ 、 $\diamond$ 分别代表三个不同的数字，那么 $△+\square -\diamond$ 等于多少?

1.7.3 挑战自我

1.7.3.1 练习 15

在下面的算式中，汉字“第”“十”“一”“届”“华”“杯”“赛”分别代表 1 ， 2,3,4,5,6,7,8,9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则“第”“十”“一”“届”“华”“杯”“赛”所代表的 7 个数字的和等于多少?

1.8 好方法 6

字母型数字谜 (2)

当有多种可能时, 分类讨论

1.8.1 典题精讲

1.8.1.1 例 6

下面的减法算式中, 每一个字母代表一个数字, 不同的字母代表不同的数字,计算: $\mathrm{D}+\mathrm{G}$ 。

1.8.1.2 【解析】

由于是五位数减去四位数,差为三位数,所以可确定 $\mathrm{A}=1,\mathrm{B}=0,\mathrm{E}=$ 9 。此时算式为:

分两种情况进行讨论:

(1)若个位没有向十位借 1，则由十位可确定 $\mathrm{F}=9$ ，但这与 $\mathrm{E}=9$ 矛盾。

(2)若个位向十位借 1，则由十位可确定 $\mathrm{F}=8$ ，百位上可确定 $\mathrm{C}=7$ 。 这时只剩下2,3,4,5,6五个数字，由个位可确定出:(D，G)可以取(2， 4), $\left(3,5\right)$ 或 $\left(4,6\right)$ ，因此有三种填法:

所以 $\mathrm{D}+\mathrm{G}=2+4=6$ 或 $\mathrm{D}+\mathrm{G}=3+5=8$ 或 $\mathrm{D}+\mathrm{G}=4+6=10$ 。

1.8.2 举一反三

1.8.2.1 练习 16

没想到越来越难，这时乐乐老师过来给大家讲解了更多的解题技巧，她和大家一起完成下面这道题:在下图的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，各字代表什么数时，可使下面的竖式成立？

机器人

• 机 机 人

器 人 人

1.8.2.2 练习 17

用 $0\sim 9$ 这 10 个数字各一次,可组成一个正确的加法竖式。现在已填好 3 个数字, 那么这个算式的结果是多少?

1.8.3 挑战自我

1.8.3.1 练习 18

机器人阿普看见拿“第十一届华杯赛”的名字出题，就说，我特别喜欢运动，要不我们用奥运会的名字来出题吧:在下图两个加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请问:“奥林匹克运动会”表示的数是多少？

1.9 探索知识巅峰

如下图所示，5 个相同的两位数 $\mathrm{AB}$ 相加得两位数 $\mathrm{MB}$ ，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则 $\mathrm{AB}=$ ( )。