等式代换

知识导引

1. 对一个算式或等式进行等量代换操作;

2. 整体思想。

知识点梳理

一、等量代换

把一个量用另一个相等的量来代替, 其中的关系依然成立。

二、等式的传递性

如果 $a=b,b=c$ ,那么 $a=c$ 。

三、例子

简单的等式代换:将替代量的系数化为 1 ，逐步替换。

对应例题: 例题 1、例题 4。

和倍、差倍问题本质是将较大的量看成多份较小的量。对应例题:例题 3 。

将一个关系或式子看作整体代入另一个式子。对应例题: 例 2、例 5、例 6。

好方法 1

简单的等式代换(1)

把一个量用另一个相等的量来代替

典题精讲

例 1

已知○＋○＋○＋○＝60，△＝○＋○，□＋□＋□＝△，那么□ 代表多少?

【解析】

4 个○的和是 60,那么 2 个△的和也是 60,3×2 个□的和也是 60,所以 $\square =60÷3÷2=10$ 。

举一反三

练习 1

玩具店里的水果模型, 1 个柿子的重量等于 3 个苹果的重量, 2 个苹果的重量等于 3 个梨的重量, 2 个梨重 60 克, 问: 1 个柿子模型有多重?

练习 2

1 个苹果的质量等于 2 个梨的质量, 1 个梨的质量等于 3 个桃子的质量。想一想, 1 个苹果的质量等于几个桃子的质量?

挑战自我

练习 3

几位小朋友来到了郊区的农场感受生活。在农场里牛牛看见了这样一幕，小羊说:“4 只小狗和我一样重。“小狗说:“3 只白兔和我一样重。“白兔说:“2 只小鸡和我一样重。“那么一只小羊和多少只小鸡一样重?

好方法 2

简单的等式代换(2)

把一个量用另一个相等的量来代替

典题精讲

例 2

丁丁去文具店买了 5 支签字笔和 6 支红笔一共用了 13 元 5 角, 2 支签字笔的价钱等于 3 支红笔的价钱。问:红笔与签字笔的单价各是多少？

【解析】

2 支签字笔价钱等于 3 支红笔价钱, 所以 6 支红笔价钱等于 4 支签字笔价钱,即 $5+4=9$ (支)签字笔需要 13 元 5 角,每支签字笔价钱为 135÷9 $=15$ (角),每支红笔价钱为 $15\times 2÷3=10$ (角)。

举一反三

练习 4

学校体育部要买 15 个排球和 8 个足球, 1 个足球 75 元, 3 个排球的价钱等于 2 个足球的价钱。问:体育部这次采购要花多少钱？

练习 5

牛牛妈买来大米 4 袋，面粉 8 袋，共重 400 千克。已知 1 袋大米的质量和 2 袋面粉的质量相等，那么一袋大米重多少千克?

挑战自我

练习 6

丁丁在池塘旁边看到有两台水泵在抽水，小水泵抽 6 小时，大水泵抽 9 小时,一共抽水 630 立方米。小水泵 5 小时的抽水量等于大水泵 3 小时的抽水量, 问: 两种水泵每小时各抽多少水?

好方法 3

和倍、差倍型的等式代换

将较大的量看成多份较小的量

典题精讲

例 3

桃子和苹果共 240 个， 其中桃子数量是苹果数量的 2 倍。求桃子和苹果各有多少个。

【解析】

桃子数量是苹果的 2 倍，所以总共相当于 3 份苹果数量等于 240 个， 所以苹果数量为 $240÷3=80$ (个),桃子数量为 $80\times 2=160$ (个)。

举一反三

练习 7

同学们在生物课外活动中种花生的棵数比白薯多 280 棵, 且花生棵数是白薯的 15 倍, 求花生、白薯各种了多少棵。

练习 8

已知 $\text{ ○ }-\square =48,\text{ ○ }=\square +\square +\square +\square +\square$ 。求 $\square$ 、 $\text{ ○ }$ 各是多少。

挑战自我

练习 9

农场是在一座山脚下，阿普发现山上的苹果树比梨树多 56 棵，苹果树是梨树的 5 倍，你知道梨树有多少棵吗?

好方法 4

复杂的等式代换(1)

把一个量用另一个相等的量来代替, 逐步替换

典题精讲

例 4

假如 12 只鸡可换 2 头羊, 9 头羊可换 3 头猪, 8 头猪可换 2 头牛, 那么用 5 头牛可换多少只鸡?

【解析】

一头羊能换 $12÷2=6$ (只)鸡,一头猪能换 $9÷3=3$ (头)羊,一头牛能换 $8÷2=4$ (头)猪,所以一头牛能换 $4\times 3\times 6=72$ (只)鸡,5 头牛就能换 5×72=360(只)鸡。

举一反三

练习 10

用 3 个鹅蛋能换 9 个鸡蛋，2 个鸡蛋能换 12 个鹌鹑蛋，用 5 个鹅蛋能换多少个鹌鹑蛋？

练习 11

16 个桃子可换 4 个香瓜, 15 个香瓜可换 5 个西瓜, 8 个西瓜可换多少个桃子?

挑战自我

练习 12

吃完午饭后，田田发现农场主正在算账。账本上这样写着:6 只白兔的价钱和 3 只公鸡的价钱一样, 2 只小羊的价钱和 10 只公鸡的价钱一样, 3 头牛的价钱和 9 只羊的价钱一样。问:卖 5 头牛和卖几只白兔能得到一样多的钱?

好方法 5

复杂的等式代换(2)

先求出三个式子的总和

典题精讲

例 5

已知一只鸡与一只鸭共重 2000 克，一只鸡与一只猴共重 1800 克，一只猴与一只鸭共重 2200 克。问:三只动物每只各重多少克?

【解析】

2 只鸡+2 只鸭+2 只猴=2000+1800+2200=6000(克)，所以1 只鸡 +1 只鸭+1 只猴=6000÷2 = 3000(克)，一只猴的重量=3000-2000= 1000(克)，一只鸭的重量 $=3000-1800=1200$ (克)，一只鸡的重量 $=$ 3000-2200=800(克)。

举一反三

练习 13

已知 $a+b=30,b+c=35,a+c=25,a,b,c$ 各是多少?

练习 14

已知 1 箱苹果的质量 +1 箱橘子的质量 = 100 千克, 1 箱橘子的质量 +1 箱香蕉的质量=120 千克, 1 箱香蕉的质量+1 箱苹果的质量=140 千克。 问:每种水果 1 箱重多少？

挑战自我

练习 15

农场主准备卖出一批兔子，于是找来小朋友们一起为这批兔子称重，并对其中 4 只兔子标号 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 。发现: $A$ 兔 $+B$ 兔 $+C$ 兔 $=7$ 千克， $B$ 兔 $+C$ 兔 $+D$ 兔 $=8\text{ 千 }\text{ 克 },C$ 兔 $+D$ 兔 $+A$ 兔 $=10\text{ 千 }\text{ 克 },D$ 兔 $+A$ 兔 $+B$ 兔 $=$ 11 千克。问: $A$ 兔重多少千克？

好方法 6

复杂的等式代换(3)

将一个式子看作整体代入另一个式子

典题精讲

例 6

牛牛和丁丁各有书若干本，已知丁丁的书是牛牛的 3 倍，如果丁丁给牛牛 10 本书, 则牛牛的书将是丁丁的 3 倍。问丁丁和牛牛二人原来各有多少本书?

【解析】

原来丁丁的书 $=3\times$ 原来牛牛的书,原来牛牛的书 $+10=3\times$ (原来丁丁的书一10)，将第一个等式带入第二个等式得:原来牛牛的书 $+10=3\times$ (3×原来牛牛的书-10)，所以原来牛牛的书=5(本)，原来丁丁的书=15 (本)。

举一反三

练习 16

1 个柚子加 1 个梨的重量等于 7 个桃子的重量, 2 个梨的重量等于 4 个桃子的重量。那么, 1 个柚子的重量等于几个桃子的重量?

练习 17

已知☐=○+○+○+○+○,○+8=(☐−10)×2。问:①是几？

挑战自我

练习 18

临走前，丁丁和牛牛在山上摘了一些苹果，并发生如下对话。牛牛:“丁丁，我的苹果太少了，给我 4 个呗？“丁丁:“那样你就和我一样多了啊！你得减肥，你给我 2 个吧。“牛牛:“响，那样我就只有 2 个了！“问:他们一共有多少个苹果?

探索知识巅峰

刘师傅带了两个徒弟小周和小李，已知刘师傅 2 小时的工作量，小周要做 4 个小时, 而小周 3 个小时的工作量, 小李要做 4 个小时。现在刘师傅做了 8 个小时，小周做了 12 小时，小李做了 16 小时，三人一共加工了 1280 个零件。问:他们每小时的工作量各是多少？