学而思小学数学

思维培养秘籍

2022 全面升级

周期问题进阶 一本一讲，共 20 讲 (建议 5 个月学习)

每讲25个教学视频

(含6个方法+13个题型)

每周一讲

(建议学习时间 90 分钟)

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2022 全面升级

第16讲

周期问题进阶 一本一讲，共 20 讲 (建议 5 个月学习)

每讲 25 个教学视频

(名6个方法+13个题型)

每周一讲

(建议学习时间 90 分钟)

目录

第 1 讲 找规律综合

第２讲 巧算加减法综合

第3讲 加减法竖式数字谜进阶

第4讲 突破乘法竖式

第5讲 突破除法竖式

第6讲 巧求周长进阶

第7讲 平均数初步

第8讲 归一问题

第9讲 长方形与正方形

第10讲 分数初识

第 11 讲 和倍问题

第12讲 差倍问题

第13讲 巧算乘法

第14讲 巧算除法

第 15 讲 鸡兔同笼进阶

第16讲 周期问题进阶

好方法 1 基本周期问题 (1)/3

好方法 2 基本周期问题 (2)/7

好方法 3 基本周期问题 (3)/11

好方法 4 双周期问题 /15

好方法 5 环形周期问题 /19

好方法 6 日期中的周期问题 /23

第17讲 盈亏问题

第18讲 奇数与偶数进阶

第19讲 字典排列法与树形图

第 20 讲 等式代换

参考答案

● ● 周期问题进阶

知识导引

1. 余数初步;

2. 隐含周期的问题、双周期问题、日期中的周期问题。

知识点梳理

一、周期现象:事物在运动变化过程中，某些特征多次重复出现。

周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫作周期。

二、分类

1.基本周期问题。对应例题:例1、例2、例3(找到周期长度, 用带余除法)。

2. 双周期问题。对应例题: 例 4 (分别找周期或找到共同的周期)。

3. 环形周期问题。对应例题:例 5 (注意顺时针与逆时针的区别)。

4. 日期中的周期问题。对应例题:例 6 (注意算头算尾)。

三、方法

1. 通过观察规律，找出周期，确定周期。

2. 用总量除以周期, 总量÷ 周期长度＝组数……余数, 然后看余数, 余数是几, 结果是周期里的第几个; 余数是零, 结果为周期里的最后一个。

注意:如果不是从第一个开始循环，那么要从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。

好方法 1

基本周期问题 (1)

找到周期长度, 总量÷ 周期长度= 组数 ····靠数, 看余数, 余数是几, 结果是周期里的第几个

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典题精讲

【例 1 】

田田和丁丁做游戏，他们把两种形状的小石子按下面的规律排列:

$\text{ ○ }\star \text{ ○ }\star \star \text{ ○ }\star \star \star \text{ ○ }\star \text{ ○ }\star \star \text{ ○ }\star \star \text{ ○ }\star \text{ ○ }\star \star \text{ ○ }\star \star \star \text{ ○ }\star \star \star \text{ ○ }\star \text{ ○ }$ 你知道他们所排列的这些小石子中, 第 100 个是什么图形吗? 第 180 个又是什么图形呢?

思维导图

【解析】

观察石子的排列规律:是按“○★○★★○ ★★》的顺序循环出现，因此，这道题的周期为 9 。列除法:看 100，180 里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个图形。看余数:因为 100 $÷9=11\cdots \cdots 1$ ,有 11 个周期还多 1 个,所以第 100 个图形是圆形。因为 $180÷9=20$ ,正好有 20 个周期,所以第 180 个图形是星星。

学习笔记

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举一反三

拍照批改 秒判对错

练习 1

一天早上，牛牛一起床就大喊:“我要吃包子我要吃包子我要吃包子······”请问，牛牛喊得第 28 个字是什么字？

练习 2

如图，算出第 20 个图形是什么。

○△△□□□○△△□□□○△△……

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挑战自我

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练习 3

乐乐老师说:“今天我们学习了周期问题，那么小朋友们，谁能列出几个咱们生活中的周期问题呢?”这时田田高高地举起右手，说道:我今天上午观察了交通岗处的信号灯，发现它的变化情况是红、黄、绿、黄、红、黄、绿、 黄······那么如果从红灯亮开始，请问:信号灯第 439 次出现的是什么颜色？

好方法 2

基本周期问题 ( 2 )

找到周期长度, 总量 $÷$ 周期长度 = 组数 $\cdots \cdots$ 余数, 看余数, 余数是几, 结果是周期里的第几个

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典题精讲

【例 2】

圣诞节到了，街上挂满了彩灯，并且按照 5 盏红灯接 4 盏蓝灯接 1 盏黄灯，然后又是 5 盏红灯接 4 盏蓝灯接 1 盏黄灯这样的顺序排下去。问:

(1)第 150 盏灯是什么颜色？

(2)前 200 盏彩灯中有多少盏蓝灯?

思维导图

按照导图一步一步

寻找解题思路。

【解析】

(1)观察规律:是按 5 盏红灯接 4 盏蓝灯接 1 盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是 $5+4+1=10$ (盏) 灯。150÷(5+4+1) = 15,150 盏灯刚好 15 个周期，所以第 150 盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯。

(2)如果是 200 盏灯，就是 200÷(5+4+1)=20(个)周期。每个周期都有 4 盏蓝灯，20×4=80(盏)，所以前 200 盏彩灯中有 80 盏蓝灯。

学习笔记

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举一反三

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练习 4

小莉把平时存下来的硬币按 3 个 1 分，2 个 2 分，1 个 5 分的顺序排列起来, 刚好 100 枚, 请问这 100 枚硬币中有多少枚 1 分的硬币?

练习 5

★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第 87 个是什么图形，在 87 个图形中一共有多少个五角星？

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练习 6

丁丁也不甘示弱:你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数: $1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots$ 从第三个数开始,以后每个数都是它前两个数的和，请问:前 2016 个数中共有多少个偶数？

好方法 3

基本周期问题(3)

找到周期长度,总量 $÷$ 周期长度 $=$ 组数 $\cdots \cdots$ 余数, 看余数, 余数是几, 结果是周期里的第几个

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【例 3 】

已知一列数 $5,4,1,5,4,1,2,3,5,4,1,2,3,5,4,1,2,3,\cdots$ ,一直写到第 103 个数，请问这些数的和是多少？

思维导图

求103个数的和

先观察这103个数排列的规律

按照导图一步一步寻找解题思路。 从第4个数开始有规律:重复出现

【解析】

观察规律:发现是从第 4 个数开始按照“54123”重复出现，一个周期中所有数的和为: $5+4+1+2+3=15$ ,只要找出 103 个数里有多少个这样的周期就可以了。列除法判断有多少个周期: (103-3)÷5=20 (个)。

求 103 个数的和,注意,别忘了把最前面的三个数也要加上, $15\times 20+5+4+1=310$ 。

学习笔记

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举一反三

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练习 7

小和尚在地上写了一列数: $7,0,7,0,2,5,3,7,0,2,5,3,\cdots$ ,一直写呀写，写了 42 个数，你能求出这 42 个数相加的和是多少吗？

练习 8

甲、乙、丙三个网站定期更新，甲网站每隔一天更新 1 次，乙网站每隔两天更新 1 次，丙网站每隔三天更新 1 次。在一个星期内，三个网站一共最多更新多少次?

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练习 9

阿普则不慌不忙地走上讲台，在黑板上写道“我喜欢数学趣味题数学趣味题数学趣味题······”请大家猜猜，如果按照这样的规律继续写下去， 那么第 2004 个字是什么?

好方法 4

双周期问题

① 分别找周期

②找到共同的周期

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【例 4 】

如下图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为 “数真”, 第二组为“学有”, 那么第 50 组是什么字?

数学数学数学数学数学数学…

真有趣真有趣真有趣真有趣……

思维导图

【解析】

方法一:

第一行“数学”是 2 个字一个周期，第二行“真有趣”是 3 个字一个周期，从整体观察，发现每 6 列会按照“数真，学有，数趣，学真，数有，学趣” 的规律出现。周期为 6 。列除法:50÷6=8······2，所以第 50 组为“学有”。

方法二:

要求第 50 组是什么数，也可以分别求出上、下两行各是什么字，上面一行是以“数学”2 个字为一个周期，下面一行则是以“真有趣”3 个字为一个周期。 $50÷2=25$ ，所以第一行的第 50 个字为“学”。 $50÷3=16$ ······2，所以第二行的第 50 个字为“有”。所以第 45 组是“学有”。

学习笔记

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举一反三

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练习 10

如图所示，每列上、下字和字母组成一组，例如，第一组是“A 红”，第二组是“B 黄”，……，请写出第 63 组是什么。

练习 11

同学们做早操, 36 个同学排成一列, 每两个女生中间是两个男生, 第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？

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练习 12

看到小伙伴们这么棒，牛牛着急坏了，突然他想起今天中午吃饭的时候，餐厅贴出来的菜单:

如上所示，每列上、下两个字组成一组，例如，第一组是“水宫”，第二组是“煮保”，······，请写出第 45 组是什么。

好方法 5

环形周期问题

找到顺时针一圈传多少次会回到起点

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【例 5 】

12 个同学围成一圈做传球的游戏，如图。

(1)从 1 号同学开始，顺时针传 100 次，手绢应在谁手中？

(2)从 1 号同学开始，逆时针传 100 次，手绢又在谁手中？

(3)从 1 号同学开始，先顺时针传 156 次，然后从那个同学开始逆时针传 143 次，最后手绢在谁手中?

思维导图

按照导图一步一步寻找解题思路。

【解析】

(1)因为一圈有 12 个同学，所以一圈传 12 次后手绢回到原来同学手中，现在，从 1 号开始，顺时针传 100 次，我们先用除法求传了几圈还余几次。100÷12=8(圈)……4(次)，相当于直接从 1 号同学顺时针传 4 次, 正好传到 5 号同学手中。

(2)与第(1)题的道理一样,先做除法。100÷12=8(圈)······(次). 这 4 次是逆时针传，相当于直接从 1 号同学逆时针传 4 次，正好传到 9 号同学手中(如图)。

(3)先顺时针传 156 次，然后逆时针传 143 次，相当于顺时针传 156 $-143=13$ (次)。 $13÷12=1$ (圈)……1(次)，相当于从 1 开始顺时针只传了1次，所以手绢到2号同学手中。

学习笔记

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举一反三

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练习 13

8 个队员围成如下图所示的一圈做传球游戏，从 1 号开始，按顺时针方向传球。在传球的同时，按顺序报数。当报到 72 时，球在几号队员手上?

练习 14

已知一列数按“294736294736294 …”排列, 那么前 40 个数字之和是多少?

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练习 15

这时学霸丁丁又举手了:我的生日是 2007 年 9 月 1 日，这一年的 6 月 1 日是星期五，你们猜我的生日是星期几呢？谁能猜出来就请谁吃蛋糕。

好方法 6

日期中的周期问题

找从当天算起, 寻找日期重复出现的规律

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【例 6 】

图中是 2013 年 5 月份的日历表，根据表请回答:(1)该年 6 月 1 日是星期几?(2)该年 10 月 1 日是星期几?(3)2015 年 5 月 1 日是星期几?

思维导图

【解析】

5 月 31 日往后一天便是 6 月 1 日，所以 6 月 1 日是星期六。从 6 月 1 日开始，日期重复出现的规律:六日一二三四五，周期是 7 。从 6 月 1 日算起, 到 10 月 1 日总天数 (计算总天数时算头算尾, 即 6 月 1 日和 10 月1日这两天都算进去),所以总天数 $=30+31+31+30+1=123$ (天)。 $123÷7=17\cdots \cdots 4$ ,所以是一个周期的第 4 天,也就是星期二。从 2013 年 5 月 1 日开始, 日期重复出现的规律:三四五六日一二, 周期是 7 。从 2013 年 5 月 1 日开始, 到 2015 年 5 月 1 日总天数为 (计算总天数时算头算尾, 即包含 2013 年 5 月 1 日和 2015 年 5 月 1 日这两天):365+365+ $1=731$ (天), $731÷7=104\cdots \cdots 3$ ,所以是一个周期的第 3 天,也就是星期五。

学习笔记

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练习 16

2014 年 3 月 3 日是星期一，算一算 2014 年 8 月 8 号是星期几。

练习 17

2016 年 5 月 3 日是星期二，5 月 20 日是星期几？

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练习 18

阿普说，丁丁你很快又要过生日了，我送你一个生日礼物吧，不过我要先考考你:这个礼物是一个电子青蛙，如下图，它每跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，这只电子青蛙从标有数字 0 的圆圈按顺时针方向跳了 2017 步，落在了一个圆圈里。问:这个圆圈里数字是多少？

探索知识巅峰

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(2006 年第 11 届华杯赛初赛)奶奶告诉小明:“2006 年共有 53 个星期日。”聪敏的小明立刻告诉奶奶:2007 年的元旦一定是( )。

A. 星期一 B. 星期二 C. 星期六 D. 星期日