差倍问题
知识导引
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简单的差倍处理;
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画线段图。
知识点梳理
一、定义
已知两数之差与两数倍数关系，求两数。
二、公式
两数差 小数(一倍数)。
小数 倍数 大数 或小数十差 大数。
三、题目类型
(1)整倍型。对应例题:例题 1(基本型)，例题 3(同增同减差不变), 例题 5 (暗差型), 例题 3 (变倍型);
(2)非整倍型。对应例题:例题 2(基本型)，例题 4(暗差型)。
四、解题技巧
(1)找一倍数与对应差;
(2)画线段图；
(3)求解。
好方法 1
差倍问题 (整倍型)(1)
画图法:一倍数=两数差÷(倍数-1)
典题精讲
例 1
乐乐老师买来一些糖果分给田田和牛牛，牛牛分到的是田田的 3 倍，田田分到的比牛牛少 30 颗，田田和牛牛各分到多少颗糖?
【解析】
根据题目中的差与倍数关系，判断为差倍问题，田田的数量为一倍数，画线段图:
田田:30÷(3-1)=15(颗)。牛牛:15×3=45(颗)或 15+30=45(颗)。
举一反三
练习 1
乐乐老师比丁丁大 24 岁，今年乐乐老师的年龄正好是丁丁年龄的 3 倍，你知道今年乐乐老师多少岁，丁丁多少岁吗?
练习 2
会计结账时，发现账面少了 63 元，后来发现是把一笔钱的 0 丢了，则这笔钱原来是多少元?
挑战自我
练习 3
今天是牛牛的 9 岁生日，妈妈为他准备了生日Party。牛牛邀请了他的好朋友一起来参加。在小朋友们到来前，妈妈跟牛牛说:“今天是你 9 岁生日，妈妈今年 33 岁了，那么再过多少年你的年龄会是妈妈年龄的一半呢?”
好方法 2
差倍问题 (非整倍型)
画图法:“多去少补”
典题精讲
例 2
学校买来的足球比排球多 18 个，足球的个数比排球的 2 倍少 4 个。 学校买来足球和排球各多少个?
【解析】
根据题目中的差为 18 个，与倍数关系 2 倍少 4 个，判断为差倍问题，画出线段图:
根据“多去少补”把非整倍数问题转化成整倍数问题。排球: (18+4)÷ (个)。足球: (个) 或 (个)。
举一反三
练习 4
三年级(1)班女生比男生多 15 人，女生的人数比男生的 4 倍少 3 人， 则三年级(1)班有男生和女生各多少人？
练习 5
某校有排球的个数比足球多 50 个，如果再买 40 个排球，排球的个数就是足球的 3 倍, 足球、排球各有多少个?
挑战自我
练习 6
为了准备生日Party，爸爸一大早就去大采购，先买水果。爸爸看到水果店有两筐橘子(假设每个橘子一样重)，第一筐橘子的数量比第二筐的 5 倍多 60 个。如果从第一筐取出 300 个放入第二筐,那么第一筐还比第二筐多 60 个。原来两筐橘子各多少个?
好方法 3
差倍问题 (整倍型)(2)
画图法: 同增同减差不变
典题精讲
例 3
甲仓库存放大米 500 袋, 乙仓库存放大米 200 袋, 现从两个仓库里运走同样袋数的大米, 结果甲仓库剩下的大米正好是乙仓库剩下大米的 3 倍, 从两个仓库里各运走大米多少袋?
【解析】
题目中没有直接给出两个仓库中大米数量的差，但是告诉我们甲、 乙仓库分别有大米多少，可以计算出两个仓库大米数量的差或者和。
又根据题目的已知条件，两个仓库同时运走相同数量的大米后，发现和发生变化,但是差没有变,仍为 500 - 200 = 300 (袋),所以确定为差倍问题。画线段图:
乙:300÷(3-1)=150(袋)。所以运走了大米 200 → 150=50(袋)。
举一反三
练习 7
实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人。第三校区建成后，从一、二校区各调走 200 人到第三校区，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的 4 倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？
练习 8
甲粮库有稻谷 500 吨, 乙粮库有稻谷 340 吨。现在从甲、乙两粮库中运出同样多的稻谷以后，甲粮库剩下的是乙粮库的 5 倍，甲、乙两粮库各剩下多少吨稻谷? 各运出多少吨?
挑战自我
练习 9
终于等到小朋友们都到了，生日 Party 正式开始。小朋友们都给牛牛带来了生日礼物和贺卡。今天牛牛一共收到贺卡 48 张，阿普送给牛牛后自己还有贺卡 12 张。若两人再买同样多的贺卡，则牛牛的贺卡是阿普的 3 倍, 那么两人各买多少张贺卡呢?
好方法 4
差倍问题(暗差型)(1)
①找到暗差
② 画图
典题精讲
例 4
阿普和丁丁做题，如果阿普再做 4 道就和丁丁做的一样多，如果丁丁再做 6 道就是阿普的 3 倍。阿普和丁丁各做了多少道题?
【解析】
根据题目已知条件，找到两人的差为 4，倍数关系为丁丁比阿普的 3 倍少 6 道题。为差倍问题，画线段图:
根据“多去少补”转化成整倍数问题。阿普:(4 + 6)÷(3 - 1)=5 (道)。丁丁: (道) 或 (道)。
举一反三
练习 10
甲、乙两个数，如果甲数加上 50 ，就等于乙数，如果乙数加上 350 就等于甲数的 3 倍, 问甲、乙各是多少?
练习 11
牛牛、田田各有若干本书。若田田再买 45 本书，两人的书就一样多了；若牛牛再买 45 本书，牛牛书的本数就是田田书的 4 倍。现在牛牛、田田各有书多少本?
挑战自我
练习 12
丁丁和田田来到牛牛的书房参观。发现他的书架上下两层放着一些书，如果上层少放 8 本，上下两层的本数就一样多；如果上层多放 8 本，上层的书就是下层的 2 倍。问:书架上下两层各有多少本书?
好方法 5
差倍问题(暗差型)(2)
①找到暗差
②画图
典题精讲
例 5
两筐重量相等的苹果, 从甲筐取出 7 千克, 乙筐加上 19 千克, 这时乙筐重量是甲筐的 2 倍。原来两筐各有多少千克苹果?
【解析】
根据甲筐减少 7 千克, 乙筐增加 19 千克, 找到现在甲、乙两筐的差为 (千克)。根据差与倍数关系,确定为差倍问题,画出线段图:
甲现在的重量为:(7+19)÷(2-1)=26(千克)。则甲筐原来的重量为 (千克)，因为甲、乙两筐原本一样重，所以乙筐的重量也是 33 千克。
举一反三
练习 13
甲、乙两桶油重量相等，如果甲桶取走油 26 千克，乙桶加入油 14 千克，这时乙桶油的重量是甲桶油重量的 3 倍。那么，两桶油原来分别有多少千克?
练习 14
牛牛和阿普两人所存的钱数相等。牛牛要买一件商品向阿普借了 120 元, 这时牛牛的钱数正好是阿普的 4 倍。那么, 原来牛牛和阿普各有多少钱?
挑战自我
练习 15
阿普看到了装饰房间剩下的两根彩带。红色和黄色两根彩带原来的长度相等。红色的用去 13 米，黄色的用去 25 米，剩下的红色彩带是黄色彩带的 4 倍。那么原来这两根彩带各长多少米?
好方法 6
差倍问题(变倍型)
找到不变量
典题精讲
例 6
苹果的个数是梨的 3 倍，如果苹果加上 6 个，梨也加上 6 个，此时苹果的个数是梨的个数的 2 倍。问原来苹果、梨各有多少个?
【解析】
把原来梨的个数作为一倍数，画出线段图:
那么增加后梨的数量就是一倍数十 6 , 苹果原来的数量为 3 倍数, 增加后苹果的数量就是三倍数 +6 。增加后梨数量的 2 倍为两倍数十 12 , 则两倍数 三倍数 ,可求出一倍数 个,所以梨原来的数量为 6 个,苹果原来的数量为 (个)。
举一反三
练习 16
今年阿普的年龄是牛牛年龄的 5 倍, 22 年后, 阿普的年龄是牛牛年龄的 3 倍。今年阿普和牛牛各多少岁?
练习 17
7 年前, 爸爸的年龄是田田的 9 倍, 11 年后爸爸的年龄是田田的 3 倍。 问:爸爸和田田今年各多少岁？
挑战自我
练习 18
阿普玩过彩带之后到书房找到丁丁和田田。阿普说:“我也有很多故事书啊。”丁丁就顺势给田田出了个题目，让她算算丁丁和阿普原来分别有多少本故事书。“丁丁原有故事书是阿普的 6 倍，两人各自接受礼物增加两本后，丁丁现有的故事书是阿普的 4 倍。那么丁丁和阿普原来分别有多少本故事书?”
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如下图所示，圆的面积是三角形面积的 3 倍。若除去重叠部分，圆余下的面积比三角形余下的面积多 14 平方厘米。问:整个三角形的面积是多少平方厘米?