和倍问题

知识导引

1. 认识倍，简单的和倍处理；

2. 画线段图。

知识点梳理

一、定义

已知 $n$ 个数的和与倍数关系，求 $n$ 个数的应用题。

二、公式

两数和÷(倍数+1)=小数(一倍数)。

小数 $\times$ 倍数 $=$ 大数 $\left(n\text{ 倍数 }\right)$ 或两数和一小数 $=$ 大数。

三、题目类型

1. 整倍型。对应例题:例题 1，例题 2，例题 5 。

2. 非整倍型。对应例题:例题 3，例题 4，例题 6 。

四、解题技巧

1. 找一倍数 (小数) 与 $n$ 个数的和。

2. 画线段图。

3. 求解。

好方法 1

和倍问题(整倍型)(1)

画图法:一倍数=两数和÷(倍数+1)

典题精讲

例 1

甲、乙两根绳子一共长 28 米，乙的长度是甲长度的 3 倍，求甲、乙的长度各是多少米。

【解析】

题目中有和有倍，属于和倍问题，采用画图解答。画图前先找到一倍数和多倍数。甲为一倍数,长度为: $28÷\left(3+1\right)=7$ (米)。乙为多倍数，长度为:7X3=21(米)。

举一反三

练习 1

学校买来两种粉笔共 240 盒，已知白色粉笔的盒数是彩色粉笔的 5 倍。两种粉笔各买了多少盒?

练习 2

城市绿化带新种杨树和柳树共 260 棵，其中杨树的棵数比柳树多 3 倍。种杨树和柳树各多少棵?

挑战自我

练习 3

最近乐乐老师带领大家举行完体育运动会后，又组织了一场智力运动会。其中也是有 $A,B,C,D,E,F$ 六个项目供大家选择。首先牛牛选的是 $A$ 项目，打开题目后看到:有一个除法算式，被除数和除数的和是 136 , 商是 7 , 没有余数。问:被除数和除数是多少?

好方法 2

和倍问题(整倍型)(2)

画图法: 一倍数 $=$ 两数和 $÷$ (倍数十 1)

典题精讲

例 2

甲班有图书 120 本，乙班有图书 30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班的 2 倍?

【解析】

题目中存在暗和: 120 + 30 = 150 (本), 有倍数, 所以是和倍问题中的整倍数问题,先画甲班给乙班书后的线段图:

乙后来的本数: $150÷\left(1+2\right)=50$ (本)。甲给乙的本数: 50-30=20(本)。

举一反三

练习 4

甲、乙两个油桶共有 1000 千克油，将乙桶的 15 千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中油的 4 倍，那么，原来甲桶中油比乙桶中的油多多少千克?

练习 5

一个长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 2 倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？

挑战自我

练习 6

牛牛答对了 $A$ 项目，准备趁热打铁，又选了个 $C$ 项目，题目是这样的: 甲、乙两数的和是 231 , 已知甲数的末尾数字是 0 , 如果把甲数末尾的 0 去掉，正好等于乙数，那么，甲数是多少，乙数是多少？

好方法 3

和倍问题(非整倍型)(1)

画图法:“多去少补”

典题精讲

例 3

北京某小学的同学做了红花和黄花共 500 朵。已知红花的朵数比黄花的 2 倍多 50 朵。两种花各有多少朵?

【解析】

题目中有和与倍数, 是和倍问题, 画线段图:

图中非整倍数部分要先去掉, 转化成整倍数问题。

黄花: $\left(500-50\right)÷\left(1+2\right)=150$ (朵)。红花: $150\times 2+50=350$ (朵)。

举一反三

练习 7

动物园中一头犀牛和一头大象共重 1500 千克，大象的体重比犀牛的 3 倍还多 20 千克，犀牛和大象各重多少千克?

练习 8

三年级(1)班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走 7 本后, 故事书的本数就是连环画的 4 倍, 原有连环画和故事书各多少本?

挑战自我

练习 9

牛牛在第二个项目遇到了小阻碍，觉得没那么轻松，于是先去休息， 接下来丁丁选了 $D$ 项目:两个仓库共有存粮 173 吨，从第一个仓库运出 38 吨后,第二个仓库的粮食比第一个仓库的 2 倍还多 6 吨,求第一个仓库、第二个仓库原有粮食各多少吨。

好方法 4

和倍问题 (非整倍型)(2)

画图法:“多去少补”

典题精讲

例 4

光明小学有学生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少人?

【解析】

题目中有和与倍数，是和倍问题，画线段图:

把少的部分补上，变成整倍数问题。

女生:(760+40)÷(1+3)=200(人)。男生:200×3-40=560(人)。

举一反三

练习 10

动物园的猴山上有 180 只猴子，大猴子的数量比小猴子的 3 倍少 8 只，那么猴山上大、小猴子各多少只？

练习 11

一根电线长 240 米，把它截成三段，使第一段比第二段长 20 米，第三段是第一段的 2 倍，这三段电线各长多少米？

挑战自我

练习 12

丁丁看到刚才牛牛都可以挑战两道题,于是也选了第二道题目 $F$ : 甲、乙、丙三个数的和是 177 , 甲数是乙数的 3 倍, 乙数比丙数的 5 倍少 3 , 求这三个数。

好方法 5

三量和倍问题(1)

画图法

典题精讲

例 5

三堆小球共有 2012 颗，如果从每堆取走相同数目的小球后，第二堆还剩下 17 颗小球, 并且第一堆剩下的小球数是第三堆剩下小球数的 2 倍，那么第三堆原有多少颗小球？

【解析】

根据题目中的和与倍数，画出线段图:

将第二堆剩下的 17 颗小球除去, 剩下的恰好是原来第三堆球数的 3 倍。 所以第三堆原有小球 (2012-17) ÷ 3=665 (颗)。

举一反三

练习 13

丁丁、田田、牛牛共有 200 元钱, 丁丁的钱是田田的 2 倍, 田田的钱是牛牛的 3 倍, 则三人各有多少钱?

练习 14

一家三口人，三人年龄之和是 72 岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的 4 倍，三人各是多少岁？

挑战自我

练习 15

接下来上场的是阿普，阿普可没那么大把握，于是选了 $B$ 项目，题目是这样的:某校三年级和四年级各有两个班。三年级(1)班比(2)班多 4 人，四年级(1)班比(2)班少5人，三年级比四年级少17人。那么，三年级 (1)班比四年级(2)班少多少人？

好方法 6

三量和倍问题(2)

画图法:“多去少补”

典题精讲

例 6

甲、乙、丙三数之和是 183 ，乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3 倍多 7 ，求甲、乙、丙三数各是多少。

【解析】

根据题目中的和与倍数，画出线段图:

把非整倍数部分“多去少补”,转变成整倍数,总和为 $183-7+4=180$ 。 丙:180÷(1+2+3)=30。乙:30×2~4=56。甲:30×3+7=97 或 183 $-30-56=97$ 。

举一反三

练习 16

果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵。桃树比梨树的 2 倍多 12 棵, 苹果树比梨树少 20 棵, 求桃树、梨树和苹果树各有多少棵。

练习 17

某养殖厂养鸡、鸭、鹅共 1462 只,鸡的只数比鸭的 4 倍多 132 只,鹅的只数比鸭的 2 倍少 70 只。这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只?

挑战自我

练习 18

智力运动会结束后，田田、丁丁、牛牛、阿普去游乐场，一共花了 154 元。有趣的是:田田花的钱数加上 5 元等于丁丁花的钱数减去 7 元， 等于牛牛花的钱数乘 3 ，等于阿普花的钱数除以 4 。请问:丁丁花了多少钱?

探索知识巅峰

老王在退休时共有 264 万元的积蓄，他将这些钱分为 4 份，除了三个儿子各给一份外，另有一份自己留做养老金。若他把这份养老金给大儿子，则大儿子所得的钱等于二儿子及三儿子所得的钱之总和；若他把这份养老金给二儿子，则二儿子所得的钱等于大儿子及三儿子所得的钱之总和的两倍; 若他把这份养老金给三儿子, 则三儿子所得的钱等于大儿子及二儿子所得钱之总和的三倍。请问:老王准备拿来当养老金的部分为多少万元?