第9讲

长方形与正方形

知识导引

1. 平面图形面积;

2. 简单长方形和正方形的面积;

3. 长方形和正方形的简单性质。

知识点梳理

一、长方形与正方形面积公式

1. 长方形面积 $=$ 长 $\times$ 宽。

2. 正方形面积 $=$ 边长 $\times$ 边长。

二、平面图形面积

1. 方法:辅助线法分割、填补，或减去重叠部分。

2. 注意:图形分割后不能多算或少算其中某一部分的面积。

三、相关题目复习

长方形和正方形的周长，和倍问题。

好方法 1

求组合图形的面积

分割法

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典题精讲

【例 1 】

求下面图形的面积。(单位:厘米)

思维导图

求组合图形的面积

分割图形

画辅助线将原图分割成

两个长方形

按照导图一步一步寻找解题思路。 分割图形加在一起为长方形面积

【解析】

将图形用辅助线分割成左右两个长方形:

左边长方形面积: $\left(3+2\right)\times 3=15$ (平方厘米); 右边长方形面积: $5\times 2=10$ (平方厘米)；图形面积: $15+10=25$ (平方厘米)。

学习笔记

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举一反三拍照批改 秒判对错

练习 1

计算下面图形的面积。(单位:厘米)

练习 2

下图是一个正方形减去四个面积为 1 的小正方形后的形状, 你能算出这个图形的面积吗?

挑战自我

拍照批改 秒判对错

练习 3

田田、牛牛和丁丁一起去卡片乐园玩儿，里面有一个做题得奖品的活动。田田看到的题是:如下图，阴影部分的周长为 48 ，它由四个小正方形和一个面积是小正方形 4 倍的大正方形组成。求图形的总面积。

好方法 2

求抹布盖住的面积

两个正方形面积的和减去重叠部分的面积

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典题精讲

【例 2 】

如图所示，两块边长为 15 厘米的抹布放在桌子上，重叠的部分恰好是个边长为 5 厘米的正方形。问:桌面被盖住部分的面积是多少？

思维导图

按照导图一步一步寻找解题思路。

【解析】

两个正方形面积:15×15＋15×15＝450(平方厘米)；重叠部分面积: $5\times 5=25$ (平方厘米); 盖住面积: 450−25=425 (平方厘米)。

学习笔记

举一反三

拍照批改 秒判对错

练习 4

两个正方形重叠部分面积为 3 平方厘米, 求下面图形的面积。

练习 5

将两个长方形平整地摆放在桌面上，上面的长方形盖住了下面的长方形，如下图，重叠部分是面积为 1 的正方形。计算两个长方形组合而成图形的面积是多少。

学而思秘籍 小学数学思维培养 5 级

挑战自我

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练习 6

牛牛看到的题目是:在一块边长为 30 米的正方形土地上，一条宽为 2 米的“奇形怪道”如下图所示。这条道路的面积是多少？

好方法 3

求十字路面积

①容斥原理

②平移法

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【例 3 】

牛牛住的小区是个边长为 100 米的正方形，中央有“十字形”的路， 路宽 5 米。问这条路的面积有多大?

思维导图

【解析】

一个长方形的面积: $100\times 5=500$ (平方米); 中间正方形面积: $5\times 5=25$ (平方米); “十字路”面积: 500×2－25 = 975 (平方米)。

学习笔记

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举一反三

拍照批改 秒判对错

练习 7

右图中每个阴影长方形的宽都为 6 米, 求阴影部分的面积。

练习 8

一天，牛牛和小伙伴去一个大院玩儿，到了那个大院后，从示意图中看到边长为 52 米的正方形大院被宽 2 米的道路分为了三部分，左上角是个边长为 25 米的正方形，问:大院内道路的面积有多大?

学而思秘籍 小学数学思维培养 5 级

挑战自我

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练习 9

丁丁看到的题目是:两块边长分别为 9 和 5 的正方形完全重叠摆放， 问:两块正方形重叠部分外的面积相差多少？

好方法 4

求大长方形的面积

和倍问题: 求出大长方形的长宽之和与倍数关系

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【例 4 】

两个长方形对应边的距离均为 2 ，如果两个长方形之间(阴影部分) 的面积是 80，且大长方形的长是宽的 2 倍。求大长方形的面积。

思维导图

【解析】

因为阴影部分面积 80=(大长方形长 ×2 + 大长方形宽 ×2)×2 - $2\times 2\times 4$ ，所以大长方形周长:(大长方形长十大长方形宽) $\times 2=\left(80+\right)\left(10-\right)\left(80+\right)\left(10-\right)x2\times 2\times 4)÷2=48$ ; 则大长方形长与宽的和: $48÷2=24$ ; 由长是宽的 2 倍,属于和倍问题,把宽看作 1 份,则宽: $24÷\left(2+1\right)=8$ ,长: $8\times 2=16$ ; 大长方形面积: $16\times 8=128$ 。

学习笔记

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举一反三

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练习 10

一个长方形，长是 13 厘米，宽是 8 厘米。现在在距长方形每条边 2 厘米处对长方形进行剪切, 得到一个小的长方形。问剪切后的长方形面积比原长方形减小了多少平方厘米?

练习 11

一个长方形的每条边都向外挪了 3 米后, 经过延长边新形成长方形的周长为 64 米。如果原长方形的长是宽的 3 倍, 那么原来长方形的面积是多少?

挑战自我

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练习 12

做出题目后, 他们每人得到一个奖品, 田田的奖品是一个边框宽为 3 厘米的长方形相框, 边框的面积为 156 平方厘米, 边框里面长方形的长是宽的 2 倍少 1 , 问: 相框的总面积多大?

好方法 5

大、小正方形面积的倍数关系

边长比是 $n$ 倍,面积比是 $n\times n$ 倍

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【例 5 】

如图所示，较大正方形的边长依次是比它小的正方形边长的 2 倍，最小正方形的边长为 2 米, 问最大正方形面积是最小正方形面积的几倍?

思维导图

按照导图一步一步寻找解题思路。

【解析】

最大正方形的边长: $2\times 2\times 2=8$ (米); 最大正方形的面积: $8\times 8=$ 64 (平方米); 最小正方形的面积: $2\times 2=4$ (平方米); 倍数关系: $64÷4=$ 16 倍。

学习笔记

举一反三

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练习 13

有三个长方形，大长方形的长和宽依次是小长方形的长和宽的 3 倍， 最大的长方形长为 27 米，宽为 9 米。问:最小长方形的面积。

练习 14

如下图，4 个正方形放在一起，较小的正方形 4 个顶点落在较大正方形的中点和边上。已知最大的正方形的边长为 16 厘米，那么最小的正方形的面积是多少?

挑战自我

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练习 15

丁丁得到的奖品是一个木制雕刻，如图所示，两个正方形的周长差 16，面积差 32。求小正方形的面积。

好方法 6

求长方形的周长进阶

探究正方形边长和长方形的长、宽关系

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典题精讲

【例 6 】

下图四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个面积为 81 平方分米的大正方形，求每个长方形的周长。

思维导图

按照导图一步一步寻找解题思路。

【解析】

求正方形边长: $81=9\times 9$ ,所以正方形边长为 9 分米; 长方形的长加宽等于正方形边长 9 分米; 长方形周长: $9\times 2=18$ (分米)。

学习笔记

举一反三 拍照批改 秒判对错

练习 16

四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，大小正方形的面积分别为 121 平方厘米和 81 平方厘米, 一个长方形的面积是多少?

练习 17

如下图，一个正方形被分为了 9 个小长方形，小长方形的周长和为 192 , 正方形的面积是多少?

挑战自我

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练习 18

牛牛的奖品是一个魔幻卡片的卡套，上面印有这样一个图案，长方形被分割成大小不等的 6 个正方形。已知中央的小正方形的面积为 4 平方厘米。问:长方形图案的面积有多大？

探索知识巅峰 拍照批改 秒判对错

一个边长是 9 厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是 5 厘米，宽是 1 厘米的长方形纸条?