归一问题

知识导引

1. 简单的归一问题;

2. 求单位量和求总量。

知识点梳理

一、归一问题

先用除法求出单一量, 再求题目中所要求解的问题。

二、三要素

单一量、份数、总量。

单一量 = 总量÷份数。

份数 = 总量÷ 单一量。

总量 = 单一量×份数。

三、类型

1. 正归一问题:求总量。对应例题:例 1、例 4 。

2. 反归一问题:求份数。对应例题:例2、例3。

3. 多量归一、综合归一问题。对应例题: 例 5、例 6。

好方法 1

单归一问题(1)

总数÷份数=单一量

典题精讲

例 1

王叔叔加工面条，5 天加工 40 千克，照这样算，30 天可加工面条多少千克?

【解析】

先找出工作的单一量,即 1 天加工面条多少千克。用除法得出 40÷5 $=8$ (千克),从而得出 30 天加工的总量 $8\times 30=240$ (千克)。

举一反三

练习 1

乐乐老师批改 4 本作业用 12 分钟，照这样计算，三年级(5)班 30 本作业要批改多长时间？

练习 2

一只小蜗牛 6 分钟爬行 12 分米。照这样的速度，1 小时爬行多少米?

挑战自我

练习 3

暑假到了，乐乐老师给大家布置的实践作业是去一家工厂，了解工人每天的工作状态，用自己独特的视角发现生活中的数学。于是，他们把附近的工厂列出来后，每个人选择了自己感兴趣的工厂开始出发啦。期待他们暑期结束后的精彩分享。田田去的是离家最近的服装厂。去了 5 天后, 她就发现了工人们 5 天能加工运动服 160 件。照这样的速度, 工作 7 天能加工运动服多少件?

好方法 2

单归一问题(2)

份数 = 总量÷ 单一量

典题精讲

例 2

丁丁 3 分钟完成 24 道口算，照这样的速度，完成 56 道口算要多少分钟?

【解析】

根据已知条件求出单一量: $24÷3=8$ (道)，根据单一量和总量，求份数:56 ÷ 8 = 7 (分)。

举一反三

练习 4

一台割草机 3 小时可割草 480 千克，照这样的速度计算，割 640 千克要用多少小时？

练习 5

一玩具厂 4 小时可生产玩具 524 个。照这样计算，生产 1572 个玩具， 要多少小时？

挑战自我

练习 6

牛牛去的是每天在城市能看到的绿化队。他发现绿化队 4 天种树 200 棵，暑期大家还需继续种 400 棵树。照这样的工作效率，完成任务共需多少天?

好方法 3

单归一问题(3)

总量 $=$ 单一量 $\times$ 份数

典题精讲

例 3

一辆汽车从甲地开往乙地, 每小时行 60 千米, 5 小时到达。若要 4 小时到达，则每小时需要多行多少千米?

【解析】

甲地到乙地的总距离即总量:60×5=300 (千米), 新的单一量:300 $÷4=75$ (千米),每小时多行: $75-60=15$ (千米)。

举一反三

练习 7

某厂运来一批煤，计划每天用 5 吨，40 天用完，如果改进锅炉后，每天节约 1 吨煤, 这批煤可以用多少天?

练习 8

某水泥厂计划 24 天完成一批任务，每天应生产 45 吨水泥。改进技术后，每天比原计划多生产 15 吨，这样提前几天完成？

挑战自我

练习 9

丁丁去的是家具厂。刚好家具厂在生产一批桌椅，原计划每天生产 30 套，12 天完成。实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套?

好方法 4

双归一问题(1)

单一量 $\times$ 时间 $\times$ 人数 $=$ 总量

典题精讲

例 4

一个果园请人帮忙摘桃子，4 个人 3 小时共摘桃子 600 千克，照这样的效率计算，5 个人 8 小时可以摘多少千克桃子?

【解析】

单一量即 1 人 1 小时摘桃子的重量:600÷4÷3=50 (千克)，5 人 8 小时摘的总量:50×5×8=2000(千克)。

举一反三

练习 10

15 头牛 4 天吃了 1260 千克草，照这样计算，30 头牛 10 天吃草多少千克?

练习 11

3 只猴子 3 天吃了 3 个桃子。按照这样的速度，6 只猴子 6 天吃了多少个桃子? 9 只猴子要吃 9 个桃子，需要多少天?

挑战自我

练习 12

阿普去的是生产螺丝钉的车间，4 台车床 15 分钟生产 16200 个螺丝钉。3 台这样的车床 1 小时可以生产多少个螺丝钉?

好方法 5

双归一问题(2)

总量÷单一量÷趟数=份数

典题精讲

例 5

6 辆卡车运送 4 趟可以运走沙石 48 吨。如果有 400 吨沙石需要 10 趟运完，那么一共需要多少辆卡车?

【解析】

1 辆卡车 1 趟可以运沙石: $48÷4÷6=2$ (吨),400 吨沙石 10 趟运完需要车数:400÷2÷10=20(辆)。

举一反三

练习 13

4 辆汽车 5 小时共运土石 400 方，现有 10 辆同样的汽车，要运 1000 方土石，需要几小时?

练习 14

工厂计划做 4320 个机器零件，18 个工人工作 8 小时完成了计划的一半，其余的如果在 4 小时内完成，需要多少个工人?

挑战自我

练习 15

他们各自去过一个地方后，开始结伴去体验另外的工人生活。牛牛和田田去的是建筑工地。开始有 50 个人在搬砖，要搬 2000 块，4 次搬了一半。照这样算，再增加 50 个工人，还要多少次运完?

好方法 6

归一问题综合

设单一量:1 人 1 小时工作量为 1 份

典题精讲

例 6

一件工作 12 人每天工作 8 小时需要 10 天, 照这样计算, 如果增加 8 人，每天减少 2 小时，可以提前几天完成？

【解析】

这类归一问题中没有总量，所以可以设单一量即 1 人 1 小时工作量为 1 份,则 12 人每天工作 8 小时,10 天的工作总量为 $12\times 8\times 10=960$ (份)，现在的总人数为 $12+8=20$ (人)，每天工作时间为 $8-2=6$ (小时)，工作天数为 $960÷20÷6=8$ (天)，提前了 $10-8=2$ (天)。

举一反三

练习 16

学校买来一批粉笔, 原计划 18 个班可用 60 天, 实际用 45 天后, 有 3 个班外出了，剩下的粉笔够用多少天?

练习 17

一个部队预计由 50 名战士用 16 天挖一条沟，挖了 4 天后又增加 25 名战士。假如每名战士的工作效率相同，可提前几天完成?

挑战自我

练习 18

阿普和丁丁去的修路队。有 20 人修筑一条公路，计划 15 天完成。动工 3 天后抽出 5 人去植树，留下的人继续修路。如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天?

探索知识巅峰

已知 3 名模范职工和 6 名普通职工 8 小时可以生产零件 420 个。现在有一批生产任务，需要 6 名模范职工和 12 名普通职工生产 14 小时才能完成。如果工作了 4 小时后，又来了 4 名模范职工和 8 名普通职工，可以提前几小时完成任务?