平均数初步

知识导引

1. 连续数求平均数问题;

2. 调和平均数和基准平均数。

知识点梳理

一、基础知识

把一个(总)数平均分成几个相等的数，这个相等的数就叫作这个(总)数的平均数。

公式:总数÷总份数=平均数。

二、生活中的平均数

“平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到:

全班同学的总成绩÷总人数=平均成绩。

几件货物的总重量÷货物总件数=平均重量。

几次考试的总分数÷考试次数=平均分数。

三、公式变形

总数 $=$ 平均数 $\times$ 总份数。

总份数 = 总数÷平均数。

好方法 1

平均数公式

平均数 = 总数÷ 总份数

典题精讲

例 1

幼儿园小朋友做红花，小华做了 27 朵，小方做了 29 朵，小林和小宁合做了 52 朵。平均每个小朋友做了多少朵？

【解析】

花的总朵数:27+29+52=108(朵)，总人数:4人(易错点:这里是 4 个人而不是 3 个人)，平均:108÷4=27(朵)。

举一反三

练习 1

一个书架上第一层放书 52 本，第二层和第三层共放 70 本，第四层放了 46 本，平均每层放书多少本？

练习 2

用 4 个同样的杯子装水，水面的高度分别是 4 厘米，5 厘米，7 厘米，8 厘米。这 4 个杯子水面的平均高度是多少厘米?

挑战自我

练习 3

乐乐老师:上周我们学完了平均数，小朋友们是不是发现平均数在我们生活中无处不在啊，你能举出几个例子吗？田田第一个举手:我本周读完了一本故事书。第一天读了 13 页，接下来的三天平均每天读了 17 页， 最后三天读了 41 页。你们猜我平均每天读故事书多少页?

好方法 2

平均数应用题

①公式法

②基准数法

典题精讲

例 2

中关村小学有 15 名同学参加跳绳比赛，他们跳绳的个数分别为 93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求平均每人跳绳多少个。

【解析】

方法一:

跳绳总个数 $=93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+$ 86 + 93 + 90 + 89 $=90\times 15+\left(3+4+2+4+1+2+3\right)-(5+4+2+2+$

$$1+4+1)$$

$=1350+19-19$

$$=1350\text{ (个), }$$

平均每人跳的个数=1350÷15=90(个)。

方法二: $90+[\left(3+4+2+4+1+2+3\right)-(5+4+2+2+1+4+$ 1) $÷15=90$ (个)。

举一反三

练习 4

下图是小华五次数学测验成绩的统计图。小华五次测验的平均分是多少分?

练习 5

小丸子这学期前 5 次作业的得分分别是 95,87,92,100,96。求小丸子这 5 次作业的平均成绩。

挑战自我

练习 6

牛牛说:上次数学测试中，我们组小伙伴的最高分是 98 分，最低分是 86 分，其余 5 名小伙伴的平均分为 92 分。请问:我们组的平均分是多少分?

好方法 3

公式变形

总数 $=$ 平均数 $\times$ 总份数

典题精讲

例 3

小华期末考试时，语文、数学和音乐三科成绩平均分是 96 分，英语成绩公布后, 四科平均分下降了 2 分, 小华英语成绩是多少分?

【解析】

方法一:

语文、数学和音乐三科成绩平均分是 96 分，可以求出三科成绩总分数:96×3=288(分)。英语成绩公布后，四科平均成绩降了2分，也就是 94 分，就可以求出四科成绩的总分数:(96-2) × 4=376 (分)。用四科的总分数减去三科的总分数就是英语的分数: 376-288=88(分)。

方法二:96-2×4=88(分)。

举一反三

练习 7

宁宁期中考试语文、数学、自然的平均分是 91 分，英语成绩公布后，他的平均分提高了 2 分。宁宁英语考了多少分?

练习 8

小红的语文和数学的平均成绩是 93 分, 英语得了 96 分。小红三门功课的总分是多少?

挑战自我

练习 9

丁丁说:我最近六天吃的包子数量是 6 个连续自然数，而且它们的和是 75 。请问:我这六天分别吃了多少个包子?

好方法 4

混合奶糖问题

平均价格 = 总价格÷ 总重量

典题精讲

例 4

果品店把 2 千克酥糖, 3 千克水果糖, 4 千克奶糖混合成什锦糖。已知酥糖每千克 12 元，水果糖每千克 11 元，奶糖每千克 15 元。问:什锦糖每千克多少元?

【解析】

混合后的什锦糖的总价是: $12\times 2+11\times 3+15\times 4=117$ (元),什锦糖的总重量是:2 + 3 + 4 = 9 (千克)，什锦糖的单价是:117÷9=13(元)。

举一反三

练习 10

果品店把 3 千克水果糖, 9 千克奶糖混合成什锦糖, 已知水果糖每千克 7 元，奶糖每千克 11 元，那么什锦糖每千克多少元?

练习 11

果品店把 4 千克水果糖, 5 千克奶糖混合成什锦糖。已知水果糖每千克 15 元, 奶糖每千克 24 元, 那么什锦糖每千克多少元?

挑战自我

练习 12

阿普说:昨天妈妈给我买了由 2 千克酥糖, 3 千克水果糖混合成的什锦糖。已知酥糖每千克 24 元，水果糖每千克 19 元，请问:妈妈买的什锦糖每千克多少元?

好方法 5

求连续的数

按照首尾配对可以分成和相等的几组

典题精讲

例 5

6 个学生的年龄正好是连续自然数, 他们的年龄和与小明爸爸的年龄相同，7 个人年龄一共是 126 岁，求这 6 个学生各几岁。

【解析】

6 个学生年龄总和为 $126÷2=63$ (岁)，首尾配对按年龄顺序分成三组,每组和为 $63÷3=21$ (岁),中间连续的两个自然数相差 1,和为 21,中间两个数中较大的一个: $\left(21+1\right)÷2=11$ (岁),中间两个数中较小的一个:21-11=10(岁)，可推出 6 个小朋友年龄分别为8、9、10、11、12、13岁。

举一反三

练习 13

已知 8 个连续奇数的和是 144 , 求这 8 个连续奇数。

练习 14

已知 6 个连续奇数的和是 144 , 求这六个连续奇数。

挑战自我

练习 15

牛牛又说: 我这次考试成绩进步啦！前 3 次数学测验的平均成绩只有 89 分，但是第 4 次数学测验成绩出来后，平均成绩上升了 1 分。请问: 牛牛第 4 次测验的成绩是多少分?

好方法 6

复杂的平均数问题

理解题目,熟练运用平均数公式

典题精讲

例 6

这学期，丁丁 5 次随堂测试都得了 84 分，牛牛前 4 次测试分别比丁丁多出了 1 分、 2 分、 3 分、 4 分，请问第 5 次测试牛牛至少要考多少分， 才能确保这 5 次测试的平均成绩高于丁丁至少 3 分?

【解析】

如果牛牛 5 次测评的平均成绩比丁丁高 3 分，那么 5 次测评牛牛的总分比丁丁的总分高: $3\times 5=15$ (分); 所以第 5 次测评至少要比丁丁多考: $15-1-2-3-4=5$ (分); 牛牛第 5 次至少考: $84+5=89$ (分)。

举一反三

练习 16

楠楠的 8 个同学，数学考试成绩的平均数为 80，若把其中的一个成绩改为 82 , 则平均数变成了 82 。被改动的数原来是多少?

练习 17

小梅做跳绳练习，第一次跳了 67 下，第二次跳了 76 下。她要想三次的平均成绩达到 80 下，第三次至少要跳多少下?

挑战自我

练习 18

田田突然想起了昨天爸爸带她去看的篮球比赛:爸爸喜欢的那支篮球队的五名主力队员，其中四名的平均身高是 182 厘米，另一名的身高比这五名队员的平均身高矮 8 厘米，这名队员的身高是多少？

探索知识巅峰

小龙 5 次测验每次都得 84 分，小海前 4 次测验分别比小龙多出 1 分、 2 分、3 分、4 分，那么小海第五次测验至少应得多少分，才能确保 5 次测验平均成绩高于小龙至少 3 分。