巧求周长进阶

知识导引

1. 平移法的学习;

2．求一些不规则平面图形的周长。

知识点梳理

一、基本概念

周长:封闭图形一周的长度。

二、长方形、正方形的基本计算公式

1. 长方形周长 $=2\times$ (长 + 宽)。

2. 正方形的周长 $=4\times$ 边长。

三、常用方法——平移法

四、总结

凹形图的周长比平移后形成的规则图形周长大，凸形图的周长等于平移后形成的规则图形的周长。对应例题: 例 1、例 6。

剪切图形比原图像周长多了 2 倍的剪切痕迹。对应例题: 例 4。

好方法 1

不规则图形求周长

平移法

典题精讲

例 1

将一个大正方形剪去四个相同大小的小正方形后, 计算剩下部分的周长。

【解析】

平移之后可以恢复为原来的正方形，如图，周长为 $\left(4+2+2\right)\times 4=32$ 。

举一反三

练习 1

计算下面这个图形的周长。(单位:厘米)

练习 2

下面两幅图形 $A$ 、 $B$ 谁的周长大？

挑战自我

练习 3

丁丁和牛牛在竞选“体育健将”称号，乐乐老师建议两人赛跑来决定。 从 $A$ 到 $B$ 有一虚一实两条路可以选择。如果丁丁和牛牛的奔跑速度差不多，你觉得选哪条路的人会赢?

好方法 2

求大长方形的周长

观察小长方形与大长方形的长宽关系

典题精讲

例 2

用五个完全相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形，小长方形的周长是 40 厘米，那么大长方形的周长是多少?

【解析】

由图形可以看出小长方形的长宽关系为:长 = 宽✗3，小长方形周长 40=(长十宽) $\times 2=$ (宽 $\times 3+$ 宽) $\times 2=4\times$ 宽 $\times 2=8\times$ 宽，所以小长方形的宽: $40÷8=5$ (厘米),长: $3\times 5=15$ (厘米);

大长方形的长:5 + 15 + 5 = 25 (厘米)，宽:15 厘米，所以大长方形周长: $\left(15+25\right)\times 2=80$ (厘米)。

举一反三

练习 4

4 个完全相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形, 只知道小长方形的宽是 2 厘米, 大长方形的周长是多少?

练习 5

用九个完全相同的小长方形拼成一个如下图所示的大长方形, 大长方形的周长是 90 厘米，则每个小长方形的周长是多少?

挑战自我

练习 6

乐乐老师让田田帮忙给赛跑赢了的同学做个奖状，田田找来一块周长为 36 厘米的长方形纸板，长比宽多 2 厘米。先用剪刀在纸板上剪了 3 刀，将纸板变成如图所示的六块长方形纸板。你能算出六个小长方形的周长总和吗?

好方法 3

求组合图形的周长(1)

借助小正方形的周长

典题精讲

例 3

若每个小正方形的周长为 12 厘米，则他们组合而成的“十”字图形的周长是多少?

【解析】

小正方形的边长: $12÷4=3$ (厘米); “十”字图形封闭一圈的长度由 12 个小正方形的边长组成,所以周长为: $12\times 3=36$ (厘米)。

举一反三

练习 7

用五个完全相同的小正方形拼成如下图形, 已知拼出图形的周长是 24 厘米, 你知道所用小正方形的面积是多少吗?

练习 8

小朋友用 7 个边长是 2 厘米的小正方形拼出一个如下图所示图形。 你能帮忙算出这个图形的周长吗？

挑战自我

练习 9

阿普觉得田田裁剪的方法太没有创意，建议用五个相同的小长方形拼出一个大正方形做奖状。已知拼成大正方形奖状的周长比小长方形的周长多 8 厘米，那么小长方形的周长是多少厘米？

好方法 4

求被剪切图形的周长之和

总结剪切图形与原图形周长的区别

典题精讲

例 4

将一个长为 12 厘米，宽为 6 厘米的长方形纸片按照图中虚线剪成两个图形, 请计算两个图形的周长之和。

【解析】

被剪成部分的周长比原图形周长多了 2 倍的剪切痕迹，所以本题中被剪成两部分图形的周长之和为:(12+6) $\times 2+\left(3\times 3+6\right)\times 2=66$ (厘米)。

举一反三

练习 10

将一个边长为 4 厘米的正方形对折, 再沿折线剪开, 得到两个长方形, 求两个长方形比原来的正方形周长多了多少。

练习 11

如下图，正方形被分成了五个长方形，每个长方形的周长都是 60 厘米，求这个正方形的周长是多少厘米。

挑战自我

练习 12

乐乐老师对田田和阿普说，你们两个人的奖状设计的都非常好，现在我出一道题目，谁做得又快又对，就用谁设计的奖状。如图，长方形 $AB$ - $CD$ 中有一个正方形 $EFGH$ ,且 $AF=16$ 厘米, $HC=13$ 厘米,求长方形 $ABCD$ 的周长。

好方法 5

求组合图形的周长(2)

列举满足题目要求的组合图形

典题精讲

例 5

用 8 张边长是 2 厘米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米?

【解析】

8 张边长是 2 厘米的小正方形可以拼出来的长方形有两种形式: 1 $\times 8$ 形式和 $2\times 4$ 形式。 $1\times 8$ 形式长方形长: $8\times 2=16$ (厘米),宽: $1\times 2=2$ (厘米),周长: $\left(16+2\right)\times 2=36$ (厘米)。 $2\times 4$ 形式长方形长: $4\times 2=8$ (厘米)，宽: $2\times 2=4$ (厘米)，周长: $\left(8+4\right)\times 2=24$ (厘米)。

举一反三

练习 13

用 6 张边长为 3 厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米?

练习 14

用两个大小相同的正方形拼成一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形的周长的和减小了 10 厘米, 原来一个正方形的周长是多少厘米?

挑战自我

练习 15

跑步比赛结束后，丁丁刚回家就发现爸爸给长方形的院子装上了篱笆墙(四周都装)。丁丁家门宽 2 米，爸爸所用的篱笆墙共长 16 米，已知院子的宽是长的一半。你能算出丁丁家院子的长和宽各是多少米吗?

好方法 6

求组合图形的周长(3)

①观察组合图形的特点

② 平移为长方形求解

典题精讲

例 6

商场举行大酬宾活动，门口将长 18 厘米，宽 9 厘米的礼品盒摆成一个有规律的形状。礼品盒前 4 层的样式如图所示，一共有 10 层，你能算出一共摆了多少个礼品盒吗? 礼品盒摆出形状的周长是多少?

【解析】

礼品盒共摆了 10 层, 第一层 1 个, 第二层 2 个, 第三层 3 个······第十层 10 个，所以共有礼品盒:1 + 2 + 3+ ···+10= 55(个)；

经过平移可将图形平移为一个长 $18\times 10=180$ (厘米),宽 $9\times 10=$ 90 (厘米) 的长方形，所以礼品盒摆出形状的周长为:(180 + 90) $\times 2=$ 540(厘米)。

举一反三

练习 16

如图所示，长方形长 4 厘米，宽 2 厘米，现沿对角线 $BD$ 对折得到如下几何图形，试求阴影部分图形的周长。

练习 17

如下图所示，在 $△ABC$ 中， $AB-AC=2$ 厘米， $BD=DC$ 。若 $△ACD$ 的周长为 18 厘米,则 $AB$ 的长是多少厘米?

挑战自我

练习 18

牛牛非常开心地回到家中，将自己从小到大获得过的奖状铺在桌子上排成如下图所示的一行，这些奖状是边长分别为 5 分米、 4 分米、 3 分米和 2 分米的正方形，你知道奖状所排成图形的周长是多少厘米吗？

探索知识巅峰

将四个完全相同的长 10 厘米, 宽 6 厘米的长方形部分重叠在一起, 后一个长方形的顶点恰好在前一个长方形的中心位置，你能算出这个组合图形的周长吗?