学而思小学数学

思维培养秋籍

2022 全面升级

参考答案

现代教育出版社

Modern Education Press

创参考答案

ANSWERS

第1讲找规律综合

练习 1

【答案】(1)18；(2)15。

【解析】(1)属于等差数列，从第 2 项起, 每一项都等于它的前一项加 4 , 所以空格为 18 ; (2) 属于等差数列, 从第 2 项起, 每一项都等于它的前一项加 3 , 所以空格为 15 。

练习 2

【答案】(1)18，8，(2)37，25，(3)24，96。

【解析】(1) 从第 2 项起,每一项都等于它的前一项减 5，属于等差数列。

(2)从第 2 项起,每一项都等于它的前一项减 6 ，属于等差数列。

(3)从第 2 项起,每一项都等于它的前一项乘 2 ，属于等比数列。

练习 3

【答案】(1) $11; (2) 25; (3) 36$ 。

【解析】二级等差数列。

(1)在这列数中，前 4 个数每相邻的两个数的差依次是 1,2,3。由此可以推算 7 比括号里的数少 4，括号里应填:7+4=11。同理可求出(2)为 25。(3)应为 $6 \times 6 = 36$ 。

练习 4

【答案】(1) $9, 2; (2) 13, 3$ 。

【解析】将数列根据奇偶位置折成两个数列, 分别寻找规律，完成填数。

练习 5

【答案】(1)18，17；(2)19，8。

【解析】根据奇偶位置，拆成两个数列。

练习 6

【答案】(1)13，19；(2)15，11；(3)23，14。

【解析】根据奇偶位置，拆成两个数列。

练习 7

【答案】26,42。

【解析】兔子数列的 2 倍。从第 3 个数开始, 每一个数都等于它前面 2 个数的和。所以括号里应填数为 $10 + 16 = 26, 16 + 26 = 42$ 。

练习 8

【答案】3,1。

【解析】数列倒过来是兔子序列, 即前面两个数之差等于第三个数。

练习 9

【答案】(1)127,255;(2)2。

【解析】(1)后数是前数的 2 倍加 1 。(2)前数加 1 除以 2 就是后数。

练习 10

【答案】 12 。

【解析】经仔细观察、分析表格中的数, 可以发现: $12 + 6 = 18, 8 + 7 = 15$ ,即每一横行中间的数等于两边两个数的和。依此规律，空格中应填的数为 $: 4 + 8 = 12$ 。

练习 11

【答案】13,20。

【解析】表一:每行的中间数等于旁边两数相加,第一行 $9 + 7 = 16$ ,第二行 $16 + 5 = 21$ ,按此规律,第三行有: $4 + 9 = 13$ 。

表二:每行中间数减去左边数加 2 等于右边数, 第一行 $11 - 4 + 2 = 9$ ,第三行 $35 - 7 + 2 = 30$ ,按此规律,第二行有 $24 - 6 + 2 = 20$ 。

练习 12

【答案】(1) $15; (2) 7; (3) 60, 20$ 。

【解析】(1)右下角数等于其余两数相乘除以 2 ; (2)上边两数相加等于下边两数相乘; (3) 左下角数是上边数乘 4 ，右下角数是左下角数除以 3 。

(1) $3 \times 6 \div 2 = 9, 5 \times 12 \div 2 = 30$ ，所以根据此规律,有 $10 \times 3 \div 2 = 15$ ;

(2) $11 + 9 = 5 \times 4, 7 + 9 = 4 \times 4$ ，所以根据此规律，有 $13 + 8 = 3 \times 7$ ；

(3) $9 \times 4 = 36, 12 \times 4 = 48$ ,所以根据此规律,左下角为 $15 \times 4 = 60$ 。 $36 \div 3 = 12, 48 \div 3 = 16$ ,所以根据此规律，右下角数为 $60 \div 3 = 20$ 。

练习 13

【答案】 286, 418。

【解析】一个两位数与 11 相乘, 只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间, 就是所求的积。(1)26 $\times 11 = 2 (2 + 6) 6 = 286$ ； (2) $38 \times 11 = 3 (3 + 8) 8 = 418$ 。

练习 14

【答案】(1)297；(2)352；(3)429；(4)506； (5)1012; (6)1078。

【解析】关于 11 的乘法有一定的规律:两边一拉，中间相加。

练习 15

【答案】(1)1,11,111,1111,111111111; (2)1,121,12321,12345678987654321; (3)100,1000,10000,100000,1000000 。

【解析】(1) 通过小一点的数来推导大一点数的计算，这个不需要记忆。

(2)通过小一点的数来推导大一点数的计算，这个可以记忆。

(3)通过小一点的数来推导大一点数的计算，这个不需要记忆。

练习 16

【答案】7 个黑三角形。

【解析】本题中,几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从图(2)起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第(4)个方框中应填 7 个黑三角形。

练习 17

【答案】 $□$ 。

【解析】第一格有 8 个圆圈,第二格有 4 个圆圈, 第三格有 2 个圆圈, 第四格有 1 个圆圈, 第五格有半个圆圈。由此发现, 前一格中的图减少一半，正好是后一格的图。所以第六格的图应该是第五格图的一半，即:___

练习 18

【答案】四只脚、一条尾、背上五个点。如下图:

【解析】观察发现,乌龟的顺序是: 头、身一一只脚、背上一个点 $\to$ 两只脚、背上两个点 $\to$ 两只脚、一条尾、背上三个点 $\to$ 三只脚、一条尾、背上四个点。根据这个规律，最后一幅图应该是:四只脚、一条尾、背上五个点。

探索知识巅峰

【答案】(1)5，20；(2)20，14。

【解析】(1)这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 1 组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

( )处分别填上 5,20 。其实, 中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉, 字谦光, 北宋时期杭州人。在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所述的三角形数表，称之为“开方作法本源图”。

(2)每行第 $k$ 个数等于该行第一个数的 $k$ 倍，故上、下空缺的数分别为 20 和 14 。

第2讲巧算加减法综合

练习 1

【答案】(1)467；(2)140。

【解析】互补凑整法。

(1) $238 + 45 + 67 + 62 + 55$

$= (238 + 62) + (45 + 55) + 67$

$= 300 + 100 + 67$

$= 467$ ;

(2)13 + 21 + 87 + 19

$= (13 + 87) + (21 + 19)$

$= 100 + 40$

$= 140$ 。

练习 2

【答案】(1)75 ;(2)240。

【解析】互补凑整法。

(1) $11 + 13 + 15 + 17 + 19$

$= (11 + 19) + (13 + 17) + 15$

$= 30 + 30 + 15$

$= 75$ ；

(2) $31 + 46 + 32 + 48 + 34 + 49$

$= (31 + 49) + (46 + 34) + (32 + 48)$

$= 80 + 80 + 80$

$= 240$ 。

练习 3

【答案】(1)11110;(2)493。

【解析】拆补凑整法。

(1) $9998 + 998 + 99 + 9 + 6$

$= (10000 - 2) + (1000 - 2) + (100 - 1) + (10 - 1) + 6$

$= (10000 + 1000 + 100 + 10) + (6 - 2 - 2 - 1 - 1)$

$= 11110$ ;

(2) $24 + 63 + 52 + 17 + 49 + 81 + 74 + 38 + 95$

$= (63 + 17) + (52 + 38) + (49 + 81) + 24 + 74 + 95$

$= 80 + 90 + 130 + 24 + 74 + 95$

$= 493$ 。

练习 4

【答案】(1)1200；(2)2217。

【解析】基准数法。

(1) $295 + 196 + 297 + 198 + 199 + 15$

参考答案

$= (300 - 5) + (200 - 4) + (300 - 3) + (200$

$- 2) + (200 - 1) + 15$

$= (300 + 200 + 300 + 200 + 200) + (15 -$ 5-4-3-2-1)

$= 1200$ ;

(2) $19 + 199 + 1999$

$= (20 - 1) + (200 - 1) + (2000 - 1)$

$= (20 + 200 + 2000) - (1 + 1 + 1)$

$= 2220 - 3$

$= 2217$ 。

练习 5

【答案】(1)305；(2)405。

【解析】基准数法。

(1)选 60 作为基准数，

$67 + 58 + 62 + 55 + 63$

$= (60 + 7) + (60 - 2) + (60 + 2) + (60 - 5) + (60 + 3)$

$= (60 + 60 + 60 + 60 + 60) + (7 - 2 + 2 - 5 + 3)$

$= 300 + 5$

$= 305$ ;

(2)57+64+238+46

$= 57 + (62 + 2) + 238 + (43 + 3)$

$= (57 + 43) + (62 + 238) + 2 + 3$

$= 100 + 300 + 2 + 3$

$= 405$ 。

练习 6

【答案】(1)111095; (2)111105。

【解析】基准数法。

(1) $7 + 97 + 997 + 9997 + 99997$

$= (10 - 3) + (100 - 3) + (1000 - 3) + (10000 - 3) + (100000 - 3)$

$= (10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000) - (3 + 3 + 3 + 3 + 3)$

$= 111110 - 15$

$= 111095$ ;

(2) 99999 + 9999 + 999 + 99 + 9

$= (100000 - 1) + (10000 - 1) + (1000 - 1) + (100 - 1) + (10 - 1)$

$= (100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10) - (1 + 1 + 1 + 1 + 1)$

$= 111110 - 5$

$= 111105$ 。

练习 7

【答案】333。

【解析】互补凑整法。

831-155-67-145-131

$= (831 - 131) - (155 + 145) - 67$

$= 700 - 300 - 67$

$= 333$ 。

练习 8

【答案】(1)286；(2)522。

【解析】凑整法。

(1) $586 - 47 - 15 - 53 - 85 - 7 - 93$

$= 586 - (47 + 53) - (15 + 85) - (7 + 93)$

$= 586 - 100 - 100 - 100$

$= 286$ ；

(2) 2017-99-199-299-399-499

$= (2000 + 17) - (100 - 1) - (200 - 1) - (300 - 1) - (400 - 1) - (500 - 1)$

$= 2000 - 100 - 200 - 300 - 400 - 500) + (17$ +1+1+1+1+1+1)

$= 500 + 22$

$= 522$ 。

练习 9

【答案】502。

【解析】凑整法。

853-148-53-52-39-59

$= (853 - 53) - (148 + 52) - (40 + 60 - 1 - 1)$

$= 800 - 200 - 98$

$= 502$ 。

练习 10

【答案】(1)600；(2)79。

【解析】基准数法。

(1) $818 - 271 - 18 + 64 - 29 + 36$

$= (818 - 18) + (64 + 36) - (271 + 29)$

$= 600$ ；

(2) $200 - 20 - 18 - 23 - 20 - 19 - 21$

$= 200 - (20 \times 6 - 2 + 3 - 1 + 1)$

$= 200 - 121$

$= 79$ 。

练习 11

【答案】(1)600；(2)109。

【解析】凑整法。

(1) $264 + 451 - 216 + 136 - 184 + 149$

$= (264 + 136) + (451 + 149) - (216 + 184)$

$= 400 + 600 - 400$

$= 600$ ;

(2) $208 + 494 - 498 - 95$

$= (200 + 8) + (500 - 6) - (500 - 2) - (100 - 5)$

$= (200 + 500 - 500 - 100) + (8 - 6 + 2 + 5)$

$= 100 + 9$

$= 109$ 。

练习 12

【答案】(1)11；(2)211。

【解析】凑整法。

(1) $307 + 201 - 398 - 99$

$= (300 + 7) + (200 + 1) - (400 - 2) - (100 - 1)$

$= (300 + 200 - 400 - 100) + (7 + 1 + 2 + 1)$

$= 11$ ;

(2) $313 - 102$

$= (300 + 13) - (100 + 2)$

$= 300 + 13 - 100 - 2$

$= (300 - 100) + (13 - 2)$

$= 200 + 11$

$= 211$ 。

练习 13

【答案】550。

【解析】抵消尾数法。

(123+348+400) - (23 + 150 + 148)

$= (123 - 23) + (348 - 148) + (400 - 150)$

$= 100 + 200 + 250$

$= 550$ 。

练习 14

【答案】(1)921；(2)543。

【解析】抵消尾数法、凑整法。

(1) $676 + (521 - 276)$

$= 676 - 276 + 521$

$= 921$ ;

(2) $526 - 257 + 274$

$= 526 + 274 - 257$

$= 500 - 257$

$= 543$ 。

练习 15

【答案】(1)160；(2)417。

【解析】抵消尾数法、凑整法。

(1) 1358- (358+840)

$= 1358 - 358 - 840$

$= 160$ ；

(2) $538 - (283 - 162)$

$= 538 - 283 + 162$

$= (538 + 162) - 283$

$= 700 - 283$

$= 417$ 。

练习 16

【答案】0。

【解析】分组法。

3355+4466+9977-3366-4477-9955

$= (9977 - 9955) - (4477 - 4466) - (3366 - 3355)$

$= 22 - 11 - 11$

$= 0$ 。

练习 17

【答案】15。

【解析】分组法。

$30 - 29 + 28 - 27 + 26 - 25 + \dots + 4 - 3 + 2 - 1$

$= (30 - 29) + (28 - 27) + (26 - 25) + \dots + (4 -$ 3) $+ (2 - 1)$

$= 15 \times 1$

$= 15$ 。

练习 18

【答案】2000。

【解析】分组法。

2000 + 1999 - 1998 - 1997 + 1996 + 1995 - 1994 $- 1993 + \dots + 8 + 7 - 6 - 5 + 4 + 3 - 2 - 1 = 2000 + (1999 - 1998 - 1997 + 1996) + (1995 - 1994 - 1993 + 1992) + \dots + (3 - 2 - 1) = 2000$ 。

探索知识巅峰

【答案】4016。

【解析】2009 $+ 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 + 10 - 11 - 12 + 13 + 14 - \dots + 2006$

$= (2009 + 1) + (2 - 3 - 4 + 5) + (6 - 7 - 8 + 9) + (10 - 11 - 12 + 13) + \dots + (2002 - 2003 - 2004$ +2005)+2006

$= 2010 + 2006$

$= 4016$ 。

第3讲加减法竖式数字迷进阶

练习 1

【答案】

(1)

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

【解析】(1)从个位看起, $3 + □ = 2$ ,有进位,即 $3 + □ = 12$ ,所以个位 $□ = 9; □ + 4 +$ 进位 $1 =$ 7，所以十位 $□ = 2$ ；百位 $6 + □ = 1$ ，有进位，即 6+☐=11,所以百位☐=5;千位☐=1。

(2)从个位看起, $□ - 6 = 1, □ = 6 + 1 = 7; 5 -$ ☐=7，有借位，即 15 -☐=7，十位☐=8；百位 ☐被借位，☐=3+4+1=8。

练习 2

【答案】

【解析】看个位，1+☐=2，个位☐填 1；看十位， ☐+6=15，填 9，进 1；看百位，9+☐+1=12，百位填 2，进位 1；千位填 1。

练习 3

【答案】38。

【解析】先看个位,相加和有三种可能: 4、14、 24。但空格中的数是 2 ~ 6 之间，可知它们的和不大于 18，不小于 6，则个位三个数相加为 14，进位 1 ；再看十位，三个空的和可能是 5 或 15 或 25，同理，只能是 15，向百位进 1 ；看百位，和是 5 , 千位是 4 。

练习 4

【答案】

(1)

(2)

【解析】(1) “黄金三角 109”进位分析, 千位百位先填; 再从个位填起, $□ + 2 = 1$ ,有进位,即 ☐+2=11,个位☐=9;8+☐+进位 1=6,有进位，即 $8 + □ + 1 = 16$ ，十位 $□ = 7$ 。

(2)“黄金三角 109” 先将千位百位填完，再从个位看起, $□ - 3 = 6$ ,个位 $□ = 3 + 6 = 9; 7 - □ =$ 9，有借位，即17-☐=9，十位☐=8。

练习 5

【答案】

【解析】两数相加减,楼梯形,有“黄金三角 109 ” 千位、百位先填上 109 ; 个位□ -4=7, 所以个位填 1，有借位；十位0一☐=0，有借位，十位填 9。

练习 6

【答案】

【解析】由题目格式可知, 两数相加, 有楼梯形, 有“黄金三角 109”；又想 1 +三位数 = 四位数，那么三位数只有 999 ,最后和为 1000 。

练习 7

【答案】

【解析】两个 4 位数相加,个位、十位、百位、千位每个位置分别知道 1 个数，将第 1 个数字的个位、百位与第 2 个数字的个位、百位换位置, 加法变为: $□□□□ + 1798 = 2909$ 。所以,第一个加数为: 2909-1798 = 1111。

练习 8

【答案】

【解析】从减法看, 被减数是 4 位数, 减数是 3 位数，差是 2 位数，所以写入 “109”。被减数十位是 9 , 相减时要向百位借位并且借位给个位, 所以减数十位为 9 ，个位为 6 ，差十位为 9 ，被减数个位为 0 。

练习 9

【答案】 $A = 3, B = 7, C = 9$ 。

【解析】可以把减法竖式变为加法竖式,即 $\overline{ABC} + \overline{ABC} = 758$ ,再用进位分析法。相同两个数相加为偶数, 有奇数说明有进位。

练习 10

【答案】 1468。

【解析】因为和为 2012,所以个、十、百位均发生了进位。“子十子十进位”个位为 0，新产生的进位只能为 1 ，“子”为 4 ，“望”为 1 ；所以 “成十成十成十进位”=21 ，“成”只能为 6 ，得到的进位为 3 ，则 “龙十龙十龙十龙 $= 32$ ” ， “龙” 为 8。综上四位数“望子成龙”为 1468 。

练习 11

【答案】好 $= 9$ ，乐 $= 8$ 。

【解析】首先看到“黄金三角 109”,得到“好” $=$ 9；个位4，说明“乐”=8，进位2；十位两个“乐”相加再加进位 2 得到 18 。

练习 12

【答案】 $A = 5, B = 2, C = 4, D = 6, E = 1$ 。

【解析】从个位看起, $A = 1$ 或 3 或 5,若 $A = 1$ , 则 $B = 5, C = 7$ ,则 $D + D + 2 =$ 奇数,不符合题意; 若 $A = 3$ ,则 $B + B + B + B + 1 =$ 偶数,不符合题意；所以 $A = 5, B = 7$ 或 2 。若 $B = 7$ ，则 $C = 0, 0$ 不能放首位，所以 $B = 2, C = 4$ 。 $D = 1$ 或 6，若 $D = 1$ ,则 $E = 2 = B$ ,不符合题意。所以 $D = 6$ ,则 E =1

练习 13

【答案】892。

【解析】“更” $= 1$ ，故“进” $= 0$ ；十位必然向百位进位了，故“学” $= 8$ ，进而“而” $= 9$ ；此时可知个位没有向十位进位，“思 +5 = 步”只能为“2+5 =7”；综上，答案为 892。

练习 14

【答案】有两种可能: $△$ 表示 7， $♢$ 表示 1， $□$ 表示4时， $△ + □ - ♢ = 10$ ；或 $△$ 表示 8， $♢$ 表示 4， ☐表示 9 时， $△ + □ - ♢ = 13$ 。

【解析】先看百位, 可知 $△$ 一定不小于 6,从而可知个位向十位进 1 或 2 。再看十位，可知十位也一定向百位进 1 或 2 。如果十位向百位进 1 , 那么 $△$ 表示 7， $♢$ 表示 1， $□$ 表示 4。如果十位向百位进 2 ，可知 $△$ 表示 8， $♢$ 表示 4，□表示 9。

练习 15

【答案】35。

【解析】根据和中的两个 0 易知,“十”十“华”等于 9，“第”为 1 ；若“届”十“赛”为 6，则只能是 2+ 4，同时“一”+“杯”为 10，剔除 1，2，4 后剩 3，5， 6,7,8,9; 无法同时凑出两组数的和分别为 9 和 10；可见“届”十“赛”为 16 ，而“一”十“杯”为 9 ，七个数字总和为 $1 + 9 + 9 + 16 = 35$ 。

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

练习 16

【答案】机 $= 3$ ,器 $= 7$ ,人 $= 0$ 。

【解析】先看个位，人十人 = 人，则人 = 0；判断“机、器”全是奇数或全是偶数，且“机” $< 5$ ，十位相加得 0 , 机 ≠ 0 , 器 ≠ 0 , 说明有进位，则 “器”为奇数；如果“机”=1，则“器”无解，所以 “机”=3，那么“器”=7。

练习 17

【答案】

【解析】用首位分析法, 看千位, 只能通过进位得到，所以千位填 1 ；百位有 2 且要进位，只能填 7 或 9，若填 9，则百位得数可能是 1 或者 2，都不符合，所以百位加数填 7，且十位需要进 1 ，那么百位得数为 0 。剩下 3、5、6、9 这几个数字，看个位 4，若加 3 = 7，不符合题意，4 若加 5 得到 9， $3 + 8 \neq = 16$ ，所以个位加数填 9 。

练习 18

【答案】1243765。

【解析】通过首位分析法,判断奥 $= 1$ 或者 2,而克 $= 7$ ,林 $= 2$ ,动 $= 6$ ,记明有进位,那么奥 $= 1$ , 运 $= 7$ ,林 $= 2$ ,动 $= 6$ ,匹 $= 4$ ,会 $= 5$ ,克 $= 3$ 。

探索知识巅峰

【答案】 10 或者 15。

【解析】看个位知道 $B = 5$ 或者 0, A 只能为 1, 所以只能为 $15 \times 5 = 75$ ,或者 $10 \times 5 = 50$ 。

第4讲突破乘法竖式

练习 1

【答案】(1)52；(2)120；(3)368。

【解析】

(1)

(2)

(3)

练习 2

【答案】(1)342；(2)133；(3)448。

练习 3

【答案】3672。

【解析】124 $\times 13 - 204 \times 5 + 44 \times 70$

$= 1612 - 1020 + 3080$

$= 3672$ 。

加减乘除统称四则运算。其中:加法和减法是第一级运算；乘法和除法是第二级运算。同级运算时，先从左往右依次算；两级运算时，先算乘除，再算加减。

练习 4

【答案】(1)391; (2) 1394; (3) 912。

【解析】

(2)

(1)

2 3

✘ 1 2 7

1 6 1

2 3

3 9 1

(3)

练习 5

【答案】(1)2961; (2)8544; (3)1034。【解析】

6	3
✘ 4	2 7
4 4	1

$251271618544$

练习 6

【答案】2059。

【解析】47 $+ 69 \times 12 + 14 + 234 \times 5 = 47 + 828 + 14 + 1170 = 2059$ 。

练习 7

【答案】(1)693；(2)473；(3)572。

【解析】

(1)

6 3

6 9 3

(2)

(3)

5 2

7 2

规律:在计算一个数乘 11 的时候，我们可以使用竖式，也可以用一个叫作“拉面法”的小技巧:两头一拉，中间相加。例如:63×11，我们可以将 63 两头拉开, 6 在百位, 3 在个位; 中间相加,即十位就是 $6 + 3 = 9$ 。按照这个规律，我们可以直接算出 $63 \times 11 = 693$ 。其他题目同理。

练习 8

【答案】(1)275；(2)3553；(3)44396。

【解析】

(1)

2 5

2 7 5

(2)

(3)

练习 9

【答案】2012。

【解析】 $12 + 34 \times 56 + 7 + 89$

$= 12 + 1904 + 7 + 89$

$= 2012$ 。

练习 10

【答案】 504 个。

【解析】求一共有多少个同学去植树, 首先要求出每个班去了多少个同学，然后再求出 6 个班一共多少个同学。可以列算式为: $12 \times 7 \times 6 = 504$ (个)。

练习 11

【答案】 28800 元。

【解析】题目要求一共捐款多少元, 则可用每个学生的捐款数乘同学人数,可列算式为 $24 \times$ 1200=28800(元)。

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

练习 12

【答案】(1)12121212; (2)123123123; (3)215151513。

【解析】(1) $12 \times 1010101 = 12121212$ ;

(2)123×1001001 = 123123123；

(3)213×1010101=215151513。

练习 13

【答案】(1)448000；(2)4800；(3) 【解析】

(1)

(2)

(3) 370

练习 14

【答案】(1)420；(2)6600；(3)1680000；(4)16000。【解析】

(1) (2)

(3)

1200

(4)

练习 15

【答案】860人。

【解析】要求三、四年级一共有多少人，可以分别算出三年级的人数和四年级的人数，然后相加就是总人数。可列式为 $13 \times 34 + 11 \times 38 = 442 + 418 = 860 (人)$ 。

练习 16

【答案】(1)26818；(2)2415；(3)5408。

【解析】

(1)

(2)

(3)

练习 17

【答案】(1)2727;(2)3434;(3)4545。

【解析】两位数乘 101 有一个计算小窍门,可以不用竖式直接口算出来哦！例如，27×101 可以利用乘法的意义，可以拆成 100 个 27 相加和 1 个 27 相加的和,那就是 $2700 + 27 = 2727$ 。

练习 18

【答案】1452 元。

【解析】要求批发这些文具的总钱数可以先求出每种文具的钱数，然后相加就是总钱数了，可以列算式计算:

$80 \times 5 + 52 \times 8 + 35 \times 12 + 12 \times 18$

$= 400 + 416 + 420 + 216$

$= 1452$ (元)。

探索知识巅峰

【答案】4~9。

【解析】这道题可以用尝试法,可以从 3 开始尝试。发现: $246 \times 34 = 8364$ (四位数), $246 \times 44 =$ 10824(五位数)， $\dots$ ，246×94 = 23124(五位数)。可以得出十位可能填入的数有 $4 \sim 9$ 。

第 5 讲突破除法竖式

练习 1

【答案】(1)8；(2)5；(3)13。

【解析】(1) 3 乘 8 的积是 24，所以 24 除以 3 的商是 8 ；(2) 5 乘 9 的积是 45 ，所以 45 除以 9 的商是 5 ；(3) 3 乘 13 的积是 39 ，所以 39 除以 3 的商是 13 。

练习 2

【答案】(1) 7; (2) 12; (3) 15 。

【解析】(1) $7 \times 7 = 49$ ,所以 $49 \div 7 = 7$ ; (2) $12 \times 12 = 144$ ,所以 $144 \div 12 = 12$ ; (3) $15 \times 15 = 225$ , 所以 $225 \div 15 = 15$ 。

练习 3

【答案】 1 个。

【解析】一共 4 个人分 1561 个桃子, $1561 \div 4 =$ 390……1，所以最少剩下 1 个桃子，他们分得的桃子数量就一样多了。

练习 4

【答案】(1)120；(2)63；(3)108。

【解析】

(1)

(2)

(3)

(1)960÷8=120，验算:120×8=960。

(2) $315 \div 5 = 63$ ，验算: $63 \times 5 = 315$ 。

(3) $432 \div 4 = 108$ ，验算: $108 \times 4 = 432$ 。

练习 5

【答案】(1)103；(2)310；(3)1601。

【解析】(1) $515 \div 5 = 103$ ,百位商1余 0,十位商 0 余 1 ，个位商 3 余 0 。

(2)1240÷4=310，百位商 3 余 0，十位商 1 余 0，个位补 0 。

(3) $9606 \div 6 = 1601$ ，千位商 1 余 3，百位商 6 余 0 ，十位商 0 余 0 ，个位商 1 余 0 。

练习 6

【答案】 20 朵。

【解析】加上少拿了的 4 朵, $456 + 4 = 460$ (朵)。 23 只蜜蜂，其余每只蜜蜂拿了 460÷23 = 20(朵)。

练习 7

【答案】(1)214；(2)15447。

【解析】

(1)

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

(2)

(1) $856 \div 4 = 214$ ，验算: $214 \times 4 = 856$ 。

(2)77235÷5=15447，验算:15447×5=77235。

练习 8

【答案】(1)315；(2)22222。

【解析】(1) $4725 \div 15 = 315$ ,百位商 3 余 2,十位商1余 7，个位商5 余 0。

(2)377774÷17=22222，万位商2余3，千位商2 余 3，百位商 2 余 3，十位商 2 余 3，个位商 2 余 0 。

练习 9

【答案】 5 。

【解析】88588÷11，列竖式:千位商 8 余 0，百位商 0 余 5，十位商 5 余 3，个位商 3 余 5。88588÷ $11 = 8053 \dots\dots 5$ 。

练习 10

【答案】(1)5；(2)844；(3)311。

【解析】

(1)

(2)

(3)

(1)105÷21=5，验算: $5 \times 21 = 105$ 。

(2)12660÷15 = 844，验算: $844 \times 15 = 12660$ 。

(3) $9019 \div 29 = 311$ ，验算: $311 \times 29 = 9019$ 。

练习 11

【答案】(1)50 ······3；(2)277……8。

【解析】(1) $353 \div 7 = 50 \dots\dots 3$ ，十位商 5 余 0，个位商 0 余 3。

(2) $3886 \div 14 = 277 \dots\dots 8$ ，百位商 2 余 10，十位商 7 余 10 , 个位商 7 余 8 。

练习 12

【答案】(1)80；(2)733；(3)222……20。

【解析】(1) $560 \div 7 = 80$ ，十位商 8 余 0，个位补 0 。(2)3665÷5=733 ，百位商 7 余 1，十位商 3 余 1，个位商 3 余 0。(3) $9788 \div 44 = 222$ ······20，百位商2余9，十位商2余10，个位商2余20。

练习 13

【答案】(1)371 ······1，(2)710……5。

【解析】

(1)

(2)

(1)743÷2=371……1，验算:371×2+1=743。

(2)9945÷14=710……5，验算:710×14+ 5=9945。

练习 14

【答案】13 张。

【解析】一共分出去了 $225 - 4 = 221$ (张)，每个人分到了 $221 \div 17 = 13$ (张)。

练习 15

【答案】 9376 道。

【解析】将 150016 道题平均分成 16 份, 150016 ÷ 16=9376，千位商 9 余 6，百位商 3 余 12，十位商 7 余 9，个位商 6 余 0。

练习 16

【答案】当这个一位数是 1,2 时,商是五位数; 如果商是四位数,这个一位数可以是3,4,5,6, 7,8,9。

【解析】当这个数大于等于 3 时, 29999 除以这个数商会是四位数。所以, 当这个一位数是 1,2 时,商是五位数; 如果商是四位数, 这个一位数可以是3,4,5,6,7,8,9。

练习 17

【答案】 19 。

【解析】由题目可知, 这个数减 1 是 6 和 9 共同的倍数，所以这个数可以是 $19, 37, 55, \dots$

练习 18

【答案】21 颗。

【解析】先将星星均分 $3096 \div 123 = 25 \dots\dots 21$ , 十位商 2 余 63 , 个位商 5 余 21 。所以大星神掌管 21 颗星星。

探索知识巅峰

【答案】 117 。

【解析】礲 $\times 9$ 个位是 8,碾 $\times 9$ 个位是 5,所以碳的个位是 2,碱的介位是 5。 $12000000 \times 82 >$ 888888888,13000000 $\times 62 < 888888888$ ,所以硥 $= 72 。 12000000 \times 55 > 555555555, 13000000 \times 35 < 555555555$ ,所以碱 $= 45 。 72 + 45 = 117$ 。

第 6 讲巧求周长进阶

练习 1

【答案】 200 厘米。

【解析】平移之后为长方形周长 +2 条长度为 12 厘米的边: $(50 + 38) \times 2 + 12 \times 2 = 200$ (厘米)。

练习 2

【答案】 $B$ 。

【解析】平移之后可发现,图形 $B$ 的周长比图形 $A$ 的周长大。

练习 3

【答案】选择虚线路线的人会赢。

【解析】平移两种路线, 可以发现虚线对应路线比实线对应路线长度小，所以当赛跑的两个人速度差不多时，选择虚线路线的人会赢。

练习 4

【答案】 28 厘米。

【解析】由图形可以看出小长方形的长宽关系为:长 = 宽 $\times$ 3 , 小长方形长: 2×3=6 (厘米)；

大长方形的长: $6 + 2 = 8$ (厘米),宽: $2 + 2 + 2 =$ 6(厘米)，所以大长方形的周长:(8 + 6) $\times 2 =$ 28(厘米)。

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

练习 5

【答案】30 厘米。

【解析】由图形可以看出,小长方形的长宽关系为: $2 \times$ 长 $=$ 宽 $\times 3$ ，大长方形由小长方形组合而成，其中长: 小宽 $\times 3$ 十小长,宽:小宽 $\times 3$ 。所以大长方形的周长 90=(大长十大宽)、2=(小宽 $\times 3$ 十小长十小宽 $\times 3) \times 2 = (6 \times 小宽 + 小长) \times 2 = 10 \times$ 小长,所以小长 $= 9$ (厘米),小宽 $= 9 \times 2 \div 3 = 6$ (厘米)；小长方形的周长 $= (9 + 6) \times 2 =$ 30(厘米)。

练习 6

【答案】 92 厘米。

【解析】长方形纸板的长十宽 $= 36 \div 2 =$ 18(厘米)，长:(18 + 2)÷2=10(厘米)，宽:(18- 2)÷2=8 (厘米)。纸板用剪刀剪了3刀后，小长方形的周长总和比大长方形多了 4 条长， 2 条宽,所以六个小长方形的周长总和为: $36 + 4 \times 10 + 2 \times 8 = 92$ (厘米)。

练习 7

【答案】 4 平方厘米。

【解析】拼出图形封闭一周由 12 个小正方形的边长组成，所以小正方形的边长为:24÷12=2(厘米)；小正方形的面积: $2 \times 2 = 4$ (平方厘米)。

练习 8

【答案】 32 厘米。

【解析】所求多边形封闭一圈的长度由 16 条小正方形的边长组成,所以周长为 $16 \times 2 = 32$ (厘米)。

练习 9

【答案】 12 厘米。

【解析】由图形可以看出,小长方形的长宽关系为:长 = 宽 × 5；大正方形的周长比小长方形的周长多 8 厘米,说明小长方形的宽 $\times (4 + 4) = 8$ ,小长方形的宽: $8 \div 8 = 1$ (厘米),长: $1 \times 5 = 5$ (厘米)。小长方形的周长: $(1 + 5) \times 2 = 12$ (厘米)。

练习 10

【答案】 8 厘米。

【解析】被剪成部分的周长和比原图形周长多了被剪痕迹的 2 倍，所以本题中被剪成两部分图形的周长和比原来的正方形周长多了 4 $\times 2 = 8$ (厘米)。

练习 11

【答案】 100 厘米。

【解析】由图形可以看出,小长方形的长宽关系为:长 = 宽 $\times 5$ ; 小长方形的周长 60 = (长十宽) $\times 2 = 6 \times$ 宽 $\times 2$ ，小长方形的宽:60÷2÷6=5(厘米)；正方形的周长:4×边长=4×(5×5)= 100(厘米)。

练习 12

【答案】58 厘米。

【解析】因为 $E F G H$ 是正方形,所以存在等式关系: $A D = E H = E F = B C = F G = G H$ ；长方形 $A B C D$ 的周长 $= A F + B F + B C + C G + D G + A D = A F + D G + B E + C H = 16 + 16 + 13 + 13 = 58$ (厘米)。

练习 13

【答案】 42 厘米或 30 厘米。

【解析】6 张边长是 3 厘米的小正方形可以拼出来的长方形有两种形式:1×6 形式和 2×3 形式:

$1 \times 6$ 形式长方形长: $6 \times 3 = 18$ (厘米),宽: $1 \times 3 = 3$ (厘米),周长: $(18 + 3) \times 2 = 42$ (厘米)。

$2 \times 3$ 形式长方形长: $3 \times 3 = 9$ (厘米),宽: $2 \times 3 = 6$ (厘米)，周长: $(9 + 6) \times 2 = 30$ (厘米)。

练习 14

【答案】 20 厘米。

【解析】两个正方形的周长比拼成的长方形周长多了 2 倍的边长,正方形的边长: $10 \div 2 = 5$ (厘米),则正方形的周长: $5 \times 4 = 20$ (厘米)。

练习 15

【答案】长是 6 米, 宽是 3 米。

【解析】丁丁家长方形院子的周长为 $16 + 2 = 18$ (米)，长十宽 $= 18 \div 2 = 9$ (米)，宽是长的一半，根据和倍模型可求，院子宽: $9 \div (1 + 2) = 3$ (米)，长: $3 \times 2 = 6$ (米)。

练习 16

【答案】 12 厘米。

【解析】根据对折关系可知: $A B = E B = B F + F E, A D = E D$ ，所以图形阴影部分的周长为: $D F + F E + D E + F C + C B + B F = (D F + F C) + C B + D E + (E F + F B) = D C + C B + A D + A B = A B C D$ 的周长 $= (4 + 2) \times 2 = 12$ (厘米)。

练习 17

【答案】 10 厘米。

【解析】 $△ A C D$ 的周长 18 厘米 $= A D + D C + A C = A D + D B + A C = A B + A C, A B - A C =$ 2 厘米。根据和差问题模型可得: $A B = (18 + 2) \div 2 = 10$ (厘米)。

练习 18

【答案】 38 分米。

【解析】平移可将排成图形变成一个长 5+4 + $3 + 2 = 14$ (分米),宽 5 分米的长方形,周长为 $(14 + 5) \times 2 = 38$ (分米)。

探索知识巅峰

【答案】 80 厘米。

【解析】用平移法可将组合图形平移为一个长 $10 + 5 + 5 + 5 = 25$ (厘米),宽 $6 + 3 + 3 + 3 = 15$

(厘米) 的大长方形,周长: $(25 + 15) \times 2 = 80$ (厘米)。

第7讲平均数进步

练习 1

【答案】 42 本。

【解析】书总数: $52 + 70 + 46 = 168$ (本),总层数:4 层,平均: $168 \div 4 = 42$ (本)。

练习 2

【答案】 6 厘米。

【解析】求 4 个杯子水面的平均高度, 就相当于把 4 个杯子里的水合在一起，再平均倒入 4 个杯子里，看每个杯子里水面的高度。即为:(4+5+ $7 + 8) \div 4 = 6$ (厘米)。

练习 3

【答案】 15 页。

【解析】要求田田平均每天读故事书多少页, 就要知道这本书的总页数和读完这本书的总天数。故事书的总页数为: $13 + 17 \times 3 + 41 = 105$ (页), 总天数为 $1 + 3 + 3 = 7$ (天)。根据总数量 $∴ 总$ 天数 = 平均数，可得:105÷7=15(页)，所以，田田平均每天读故事书 15 页。

练习 4

【答案】92 分。

【解析】方法一:

5 次成绩都比较接近 90 , 可以选 90 作为基准数,

总分 $= 90 + 95 + 85 + 90 + 100$

$= 90 \times 5 + 0 + 5 - 5 + 0 + 10$

$= 460$ (分)。

平均分 $= 460 \div 5 = 92$ (分)。

方法二: $90 + (0 + 5 - 5 + 0 + 10) \div 5 = 92$ (分)。

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

练习 5

【答案】 94 分。

【解析】因为本题的“平均成绩=总成绩÷总次数”, 所以先求总成绩, 再求平均成绩。即: (95 + $87 + 92 + 100 + 96) \div 5 = 470 \div 5 = 94$ (分)。

练习 6

【答案】 92 分。

【解析】要求平均分,应用总分数 $\div 总人数 = 平$ 均分。依题意，总分数为: $98 + 86 + 92 \times 5 = 644$ (分)，总人数为: $1 + 1 + 5 = 7$ (人)。所以这组学生的平均分为 $644 \div 7 = 92$ (分)。

练习 7

【答案】 99 分。

【解析】方法一:语文、数学、自然的平均分是 91 分,可以求出三门功课的总分为 $91 \times 3 =$ 273(分)；英语成绩公布后，四门功课的平均分为 $91 + 2 = 93$ (分),总分为 $93 \times 4 = 372$ (分), 所以，英语成绩为 $372 - 273 = 99$ (分)。

方法二: $91 + 2 \times 4 = 99$ (分)。

练习 8

【答案】282 分。

【解析】语文、数学总分 $= 93 \times 2 = 186$ (分)。

三门总分 $= 186 + 96 = 282$ (分)。

练习 9

【答案】 10 个，11 个，12 个，13 个，14 个，15 个。

【解析】包子数量是连续的 6 个自然数, 把它们按照首尾配对可以分成和相等的 3 组, 每组数之和: $75 \div 3 = 25$ 。中间两个数中较大的一个: $(25 + 1) \div 2 = 13$ ,中间两个数中较小的一个: $25 - 13 = 12$ 。这 6 个连续自然数为10,11,12, 13,14,15。所以这 6 天分别吃了 10 个，11 个， 12 个，13 个，14 个，15 个包子。

练习 10

【答案】 10 元。

【解析】混合后的什锦糖的总价是: $3 \times 7 + 9 \times 11 = 120$ (元)。什锦糖的总重量是: $3 + 9 =$ 12 (千克), 什锦糖的单价是: 120÷12= 10(元)。

练习 11

【答案】 20 元。

【解析】混合后的什锦糖的总价是: $4 \times 15 + 24 \times 5 = 180$ (元),什锦糖的总重量是: $4 + 5 = 9$ (千克), 什锦糖的单价是: 180÷9=20(元)。

练习 12

【答案】 21 元。

【解析】什锦糖的总价: $24 \times 2 + 19 \times 3 =$ 105(元)，什锦糖的总千克数:2+3=5(千克)，什锦糖的单价:105÷5=21(元)。

练习 13

【答案】11、13、15、17、19、21、23、25。

【解析】已知偶数个奇数的和是 144。连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每 2 个数分为一组, 8 个数分成 4 组，每一组 2 个数的和是 144÷4= 36。这样可以先确定出中间的 2 个数, 再依次求出其他各数。

每组数之和: $144 \div 4 = 36$ ,

中间 2 个数中较大的 1 个: $(36 + 2) \div 2 = 19$ , 中间 2 个数中较小的 1 个: $19 - 2 = 17$ ,

这 8 个连续奇数为 $11 、 13 、 15 、 17 、 19 、 21 、 23$ 和 25 。

练习 14

【答案】 19,21,23,25,27,29。

【解析】已知偶数个奇数的和是 144 。连续数的个数为偶数时,它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和,等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组,6 个数分成 3 组，每一组两个数的和是 $144 \div 3 = 48$ ，这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。

每组数之和: $144 \div 3 = 48$ ,

中间两个数中较大的一个: $(48 + 2) \div 2 = 25$ ,

中间两个数中较小的一个: $25 - 2 = 23$ ,

这 6 个连续奇数为19,21,23,25,27,29。

练习 15

【答案】 93 分。

【解析】根据 3 次数学测验平均成绩是 89 分, 可求出 3 次测验的总成绩是 $89 \times 3 = 267$ (分)。根据题意，可知第 4 次数学测验成绩出来后平均成绩变为了90分，可以求出 4 次测验的总成绩是 $90 \times 4 = 360$ (分),最后求出第 4 次测验的成绩是 360-267=93(分)。

练习 16

【答案】66 分。

【解析】8 个数的平均数由 80 变成了 82,8 个数的总和增加了: $(82 - 80) \times 8 = 16$ (分),所以被改动的数增加了 16 , 那么它原来是: 82-16 $= 66$ (分)。

练习 17

【答案】 97 下。

【解析】满足三次的平均成绩达到 80 下, 三次的总成绩是 $80 \times 3 = 240$ (下),前两次总共跳了: $67 + 76 = 143$ (下)。第三次至少要跳: $240 - 143 = 97$ (下)。

练习 18

【答案】172 厘米。

【解析】这名队员比平均身高矮的 8 厘米, 是由另四名队员给“补上”的，所以平均身高为 182-8÷ $4 = 180$ (厘米),这名队员身高 $180 - 8 = 172$ (厘米)。或 $(182 \times 4 - 8) \div 4 = 180, 180 - 8 = 172$ (厘米)。

探索知识巅峰

【答案】 89 分。

【解析】总成绩高 $3 \times 5 = 15$ (分),第五次需要高 $15 - 1 - 2 - 3 - 4 = 5$ (分),第五次至少考 $84 + 5 = 89$ (分)。

第8讲归一问题

练习 1

【答案】 90 分钟。

【解析】先根据除法求出单一量,即乐乐老师批改 1 本作业的时间是: $12 \div 4 = 3$ (分钟),所以批改 30 本作业要用 $30 \times 3 = 90$ (分钟)。

练习 2

【答案】 12 米。

【解析】为了求出蜗牛 1 小时爬行多少米, 首先要知道 1 分钟爬行多少分米,即单一量, $12 \div 6 = 2$ (分米)。然后根据单一量算总量,1 小时 $=$ 60 分钟, $2 \times 60 = 120$ (分米) =12 (米)。

练习 3

【答案】224 件。

【解析】先根据已知条件求出单一量, $160 \div 5 =$ 32(件)，根据单一量 $\times$ 份数=总量，求总量 $32 \times$ 7=224(件)。

练习 4

【答案】 4 小时。

【解析】先找出单一量: $480 \div 3 = 160$ (千克),根据总量和单一量求出份数: $640 \div 160 = 4$ (小时)。

练习 5

【答案】 12 小时。

【解析】方法一:根据题目已知条件可以得到单一量: $524 \div 4 = 131$ (个)，再求出份数: $1572 \div 131 = 12$ (小时)。

方法二: $1572 \div 524 = 3$ ，总量 1572 是 524 的 3 倍，则生产 1572 个玩具需要的时间也是 4 小时的 3 倍，即 $4 \times 3 = 12$ (小时)。

练习 6

【答案】 12 天。

【解析】先算出单一量 $200 \div 4 = 50$ (棵),再根据总量和单一量求份数: $400 \div 50 = 8$ (天), $4 + 8 =$ 12(天)。

练习 7

【答案】 50 天。

【解析】总量为: $5 \times 40 = 200$ (吨),新的单一量为: $5 - 1 = 4$ (吨),份数: $200 \div 4 = 50$ (天)。

练习 8

【答案】6 天。

【解析】总量为 $24 \times 45 = 1080$ (吨),则改进技术后,时间为 $1080 \div (45 + 15) = 18$ (天),提前了 $24 - 18 = 6$ (天)。

练习 9

【答案】 30 套。

【解析】这批桌椅一共有 $30 \times 12 = 360$ (套),实际上用了 $12 \div 2 = 6$ (天),实际每天生产 $360 \div 6 = 60$ (套),实际每天比计划多生产 60-30 $= 30$ (套)。

练习 10

【答案】6300 千克。

【解析】单一量: 1 头牛 1 天吃草的重量: 1260 $\div 15 \div 4 = 21$ (千克)。30 头牛 10 天吃草: $21 \times 30 \times 10 = 6300$ (千克)。

练习 11

【答案】 12 个，3 天。

【解析】3 只猴子 3 天吃了 3 个桃子, 说明 1 只猴子 3 天吃 3÷3=1 (个) 桃子。那么 6 只猴子 3

天就要吃 $1 \times 6 = 6$ (个)桃子,6 只猴子 6 天就要吃 $6 \times 2 = 12$ (个)桃子。

9 只猴子吃 9 个桃子，也就是 1 只猴子吃 1 个桃子，1 只猴子吃 1 个桃子需要 3 天，所以 9 只猴子要吃 9 个桃子，需要 3 天。

练习 12

【答案】 48600 个。

【解析】1 台车床 1 分钟生产螺丝钉: 16200÷4 $\div 15 = 270$ (个),3 台车床 1 小时生产螺丝钉: $270 \times 3 \times 60 = 48600$ (个)。

练习 13

【答案】 5 小时。

【解析】1 辆汽车 1 小时运土石: $400 \div 5 \div 4 =$ 20(方)。10 辆汽车运 1000 方土石需要时间: $1000 \div 10 \div 20 = 5$ (小时)。

练习 14

【答案】36 人。

【解析】18 人 8 小时共完成 $4320 \div 2 = 2160$ (个),1 人 1 小时完成 $2160 \div 18 \div 8 = 15$ (个), 1 人 4 小时完成 $15 \times 4 = 60$ (个)，2160 个 4 小时完成，需要工人2160÷60=36(人)。

练习 15

【答案】 2 次运完。

【解析】先求出每个工人每次运的砖数: 2000÷ $2 \div 4 \div 50 = 5$ (块),再求出增加工人后一次运的砖数: $(50 + 50) \times 5 = 500$ (块),最后求出还要运的次数: $2000 \div 2 \div 500 = 2$ (次)。

练习 16

【答案】 18 天。

【解析】剩下的粉笔 18 个班可用 60-45= 15(天)，现在有 18-3 = 15(个)班，可用的天数为: $18 \times 15 \div 15 = 18$ (天)。

练习 17

【答案】 4 天。

【解析】设每位战士的工作效率为 1 份, 则工作总量为 $1 \times 50 \times 16 = 800$ (份),4 天的工作总量为 $1 \times 50 \times 4 = 200$ (份),剩余 $800 - 200 = 600$ (份), 人数为 $50 + 25 = 75$ (人),时间为 $600 \div 1 \div 75 =$ 8(天)，提前了16- $(4 + 8) = 4$ (天)。

练习 18

【答案】 19 天。

【解析】设每个人的工作效率为 1 份, 这条公路的总工作量有 $: 20 \times 15 = 300$ (份)，动工 3 天后抽出 5 人，20 人修 3 天完成了: $20 \times 3 = 60$ (份)，那么剩下 300-60 = 240 (份)，这些剩下的工作给 15 个人做，需要工作 $240 \div 15 = 16$ (天)，这样，实际用了 3+16=19(天)。

探索知识巅峰

【答案】4 小时。

【解析】根据已知条件，可以得出: 6 名模范职工和 12 名普通职工生产 14 小时,共完成 420 ✘ $2 \div 8 \times 14 = 1470$ (个) 零件。就得出 6 名模范职工和 12 名普通职工生产 4 小时,完成了 1470÷ $14 \times 4 = 420$ (个),这样还剩下: $1470 - 420 = 1050$ (个)零件。要知道 10 名模范职工和 20 名普通职工来完成这 1050 个零件需要多长时间，要先求出 10 名模范职工和 20 名普通职工 1 小时能完成多少个零件。推理过程为:

3 名模范职工 +6 名普通职工 8 小时:420 个，

30 名模范职工 +60 名普通职工 8 小时:420×10 $= 4200$ (个),

10 名模范职工 +20 名普通职工 8 小时:4200÷3 $= 1400$ (个),

10 名模范职工 +20 名普通职工 1 小时:1400÷8 $= 175$ (个),

10 名模范职工十 20 名普通职工完成 1050 个零件，就需要: 1050÷175=6 (小时)，比原来提前 $14 - 4 - 6 = 4$ (小时)。

第9讲长方形与正方形

练习 1

【答案】 20 平方厘米。

【解析】加辅助线将图形分成左右两个长方形。左边长方形面积: $8 \times 2 = 16$ (平方厘米), 右边正方形面积: $(4 - 2) \times 2 = 4$ (平方厘米), 图形面积:16+4=20(平方厘米)。

练习 2

【答案】21。

【解析】原正方形的边长: $3 + 1 + 1 = 5$ ,原正方形的面积: $5 \times 5 = 25$ ,图形的面积: $25 - 4 \times 1 \times 1 = 21$ 。

练习 3

【答案】288。

【解析】由大正方形的面积是小正方形的 4 倍, 得边长是 2 倍关系,大正方形的边长: $48 \div 4 =$ 12,小正方形的边长: $12 \div 2 = 6$ ,图形总面积: $12 \times 12 + 6 \times 6 \times 4 = 288$ 。

练习 4

【答案】31 平方厘米。

【解析】两个正方形的面积相加: $5 \times 5 + 3 \times 3 = 34$ (平方厘米),图形面积等于两个正方形面积减去重叠部分面积:34-3=31(平方厘米)。

练习 5

【答案】73。

【解析】大长方形的面积: $10 \times 5 = 50$ ,小长方形的面积: $3 \times 8 = 24$ ,组合图形的面积: $50 + 24 - 1 = 73$ 。

练习 6

【答案】116 平方米。

【解析】道路横向的面积: $30 \times 2 = 60$ (平方米), 竖向的面积 $30 \times 2 = 60$ (平方米),1 个重叠部分的面积: $2 \times 2 = 4$ (平方米),道路的面积: $60 + 60 - 4 = 116$ (平方米)。

练习 7

【答案】708 平方米。

【解析】计算阴影长度: $40 \times 2 + 50 - 6 \times 2 =$ 118(米)，阴影面积等于阴影长度乘宽: $118 \times 6 = 708$ (平方米)。

练习 8

【答案】154 平方米。

【解析】道路上半部分的面积: $25 \times 2 = 50$ (平方米),下半部分的面积: $52 \times 2 = 104$ (平方米),

总面积:104+50=154(平方米)。

练习 9

【答案】56。

【解析】大正方形重叠部分外的面积: $9 \times 9$ 一重叠面积，小正方形重叠部分外的面积: $5 \times 5$ 一重叠面积,重叠面积可消掉,相差面积: $9 \times 9 - 5 \times$ 5=56。

练习 10

【答案】68 平方厘米。

【解析】原长方形面积: $13 \times 8 = 104$ (平方厘米),剪切后长方形的长: $13 - 2 - 2 = 9$ (厘米), 剪切后长方形的宽: $8 - 2 - 2 = 4$ (厘米),剪切后长方形的面积: $9 \times 4 = 36$ (平方厘米)。剪切后长方形面积比原长方形减小了: 104 - 36 = 68(平方厘米)。

练习 11

【答案】 75 平方米。

【解析】求原长方形的周长: $64 - (3 + 3) \times 4 =$ 40(米)。长加宽:40÷2=20(米)，宽:20÷(3+ 1)=5(米)，长:5×3=15(米)。面积:5×15=75 (平方米)。

练习 12

【答案】 247 平方厘米。

【解析】先求长方形的周长: (156-4×3× 3) $\div 3 = 40$ (厘米),长方形的长加宽: $40 \div 2 = 20$ (厘米),宽: $(20 + 1) \div (2 + 1) = 7$ (厘米),长: $7 \times 2 - 1 = 13$ (厘米),总面积: $7 \times 13 + 156 = 247$ (平方厘米)。

练习 13

【答案】 3 平方米。

【解析】计算最小长方形的长和宽,长: $27 \div 3 \div 3 = 3$ (米),宽: $9 \div 3 \div 3 = 1$ (米)。最小长方形的面积: $3 \times 1 = 3$ (平方米)。

练习 14

【答案】 4 平方厘米。

【解析】最大正方形的面积: $16 \times 16 = 256$ (平方厘米)，正方形的面积从小到大依次是 4 倍关系: $256 \div 4 \div 4 \div 4 = 4$ (平方厘米)。

练习 15

【答案】 4 。

【解析】周长差 16 说明边长差 4，将小正方形移到大正方形中心处，然后将大正方形减去小正方形剩下的部分分成 4 个相同的宽为 2 的长方形, 其面积为 $32 \div 4 = 8$ ,长为 $8 \div 2 = 4$ ,小正方形的边长为 $4 - 2 = 2$ ,所以小正方形的面积 $2 \times 2 = 4$ 。

练习 16

【答案】 10 平方厘米。

【解析】四个长方形的面积: $121 - 81 = 40$ (平方方厘米)，一个长方形的面积:40÷4=10(平方厘米)。

练习 17

【答案】 256 。

【解析】由正方形的周长与长方形的周长关系得正方形的周长: $192 \div 3 = 64$ ,正方形的边长: $64 \div 4 = 16$ ,正方形的面积: $16 \times 16 = 256$ 。

练习 18

【答案】572 平方厘米。

【解析】由图可知, 除最小正方形之外, 大正方形的边长依次比小正方形多 2 厘米, 可以看出右上正方形边长比右下正方形边长: $2 + 2 + 2 = 6$ (厘米)，所以右下处小正方形的边长为 8 厘米；所以长方形的长: $8 + 8 + 10 = 26$ (厘米),宽: 10 + $12 = 22$ (厘米),长方形的面积: $26 \times 22 = 572$ (平方厘米)。

探索知识巅峰

【答案】 16 个。

【解析】正方形的边长为 9 ，长方形的长为 5 ，宽为 1 , 可以将正方形看作数个长方形和一个小正方形的形式， $9 \times 9 \div (5 \times 1) = 16 \dots\dots 1$ 。

第 10 讲分数初识

练习 1

【答案】 $\frac{3}{4}, 3, 4, \frac{1}{4}$ 。

【解析】单位“1”要分清，我们都是把一个图形当作单位 “ 1 ”，图中 1 个正方形为单位 “ 1 ”，平均分成 4 份, 而阴影占其中的 3 份, 即阴影表示成 $\frac{3}{4}$ ，分子是 3，分母是 4，分数单位是 $\frac{1}{4}$ 。

练习 2

【答案】 $(1) \frac{3}{8}, 3, 8, \frac{1}{8}; (2) \frac{4}{8}, 4, 8$ 。

【解析】(1)把正方形当作单位“1”, 平均分成 8 份,阴影占其中 3 份,即阴影占全部的 $\frac{3}{8}$ ,分子是 3,分母是 8,分数单位是 $\frac{1}{8}$ 。

(2)此题通过翻转，会变成如图(一)所示的图形，然后相当于如图 (二) 的图形, 把正方形当作单位 “ 1 ”, 平均分成 8 份，阴影占其中 4 份，即阴影占全部的 $\frac{4}{8}$ ，分子是 4，分母是 8 。

图(-) 图(二)

练习 3

【答案】(1) 1; (2) $\frac{4}{8}$ 。

【解析】分数加减法, 同分母相加减, 分母不变, 分子相加减。

练习 4

【答案】 $\frac{2}{7}, \frac{4}{7}, \frac{6}{7}, \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$ 。

【解析】把这条线段当作单位 “ 1 ”, 前面一段占 $\frac{2}{7}$ ,后面一段占 $\frac{4}{7}$ ,下面占 $\frac{6}{7}$ ,即 $\frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$ 。

练习 5

【答案】(1) $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}; (2) \frac{1}{7} + \frac{5}{7} = \frac{6}{7}$ 。

【解析】(1)第一个图形:阴影为单位“1”，相当于 $\frac{3}{3}$ ，第二个图形:阴影占第二个图形的 $\frac{1}{3}$ ，再一

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级起看:空白占全部的 $\frac{2}{3}$ 。

(2)把这条线段当作单位 “ 1 ”，前面一段占 $\frac{1}{7}$ ，后面一段占 $\frac{5}{7}$ ，下面占 $\frac{6}{7}$ ，即 $\frac{1}{7} + \frac{5}{7} = \frac{6}{7}$ 。

练习 6

【答案】(1) $<, =, >$ ;

$(2) <, <, >$ 。

【解析】

(1) $\frac{2}{7} :$

即 $\frac{2}{7} < \frac{3}{7}$ 。

$\frac{5}{5} = 1, \frac{3}{3} = 1$ ,即 $\frac{5}{5} = \frac{3}{3}$ 。

$\frac{7}{9} :$

即 $\frac{7}{9} > \frac{3}{9}$ 。

(2)同理画图，可比较大小:

$\frac{3}{4} < \frac{5}{6}, \frac{3}{8} < \frac{3}{6}, \frac{5}{9} > \frac{4}{8}$ 。

练习 7

【答案】(1) $\frac{2}{5}, 5; (2) \frac{1}{3}, 3, \frac{1}{3}, 2, 1, \frac{1}{3}; (3) 1, \frac{1}{6}$ 。

【解析】(1) 把一根木棍分平均成 5 段, 每段都是 $\frac{1}{5}$ ，取其中的 2 段是 $\frac{2}{5}$ ，相当于 2 个 $\frac{1}{5}$ 就等于 $\frac{2}{5}$ ；把一根木棍平均分成 9 段，每段都是 $\frac{1}{9}$ ，

取其中的 5 段是 $\frac{5}{9}$ ，相当于 5 个 $\frac{1}{9}$ 就等于 $\frac{5}{9}$ 。

(2)把一根木棍平均分成 3 段,每段都是 $\frac{1}{3}$ ，然后丢掉其中的 2 段,剩下了 1 段,即 3 个 $\frac{1}{3}$ 减 2 个 $\frac{1}{3}$ 就是 1 个 $\frac{1}{3}$ 。

(3)把一根木棍平均分成 8 份，先取其中的 3 份，再取其中的 5 份，最后一共取了 8 份，即 $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1$ ; 把一根木棍平均分成 6 份,然后扔掉其中的 5 份,剩下 1 份,即 $1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ 。

练习 8

【答案】 $(1) \frac{3}{7}, 3$ ;

(2) $\frac{7}{9}, 2, 5, 7, \frac{7}{9}; \frac{3}{8}, 5, 2, 3, \frac{3}{8}; \frac{1}{3}, 3, \frac{1}{3}, 2, 1, \frac{1}{3}$ 。

【解析】()把一根木棍平均分成 7 段, 每段都是 $\frac{1}{7}$ ,然后取其中的 3 段,就是 $\frac{3}{7}$ ,就相当于 3 个 $\frac{1}{7}$ 就等于 $\frac{3}{7}$ ; 把一根木棍平均分成 4 段,每段都是 $\frac{1}{4}$ ，然后取其中的 3 段，就是 $\frac{3}{4}$ ，就相当于 3 个 $\frac{1}{4}$ 就等于 $\frac{3}{4}$ 。

(2)分数减法，同分母相减，分母不变，分子相减。

练习 9

【答案】(1) $X; (2) X; (3) \lor; (4) X; (5) X$ 。

【解析】(1) 同分母相加, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ; (2) 可以画图表示；(3)只有分数单位不一样，其他都是一样的；(4)概念性错误，需要平均分成两份；(5)概念性错误，没有说两个杯子一样大。

练习 10

【答案】 $(1) \frac{8}{10}; (2) \frac{13}{14}$ 。

【解析】根据总结, $(1) \frac{5}{10} - \frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{5 - 1 + 4}{10} = \frac{8}{10}; (2) \frac{9}{14} - \frac{2}{14} + \frac{6}{14} = \frac{9 - 2 + 6}{14} = \frac{13}{14}$ 。

练习 11

【答案】(1)0 ; (2) $\frac{4}{8}$ 。

【解析】分数加减法, 同分母相加减, 分母不变, 分子相加减。

练习 12

【答案】(1) $\frac{1}{15}, 7$ 个； (2) $\frac{1}{77}, 23$ 个； (3) $\frac{1}{100}$ ， 66 个。

【解析】分数单位的定义是:把单位“1”平均分成几份, 取其中的一份。

练习 13

【答案】 $(1) <, =, >; (2) >, =, <$ 。

【解析】

(1) $\frac{2}{5} :$

所以， $\frac{2}{5} < \frac{3}{5}$ 。

$\frac{3}{3} = 1, \frac{2}{2} = 1$ ,所以 $\frac{3}{3} = \frac{2}{2}$ 。

$\frac{4}{7} :$ 所以， $\frac{4}{7} > \frac{3}{7}$ 。

(2) $\frac{5}{6}$

$\frac{5}{8} :$

所以， $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$ 。

$\frac{9}{9} = 1$ ,所以 $1 = \frac{9}{9}$ 。

$\frac{1}{2} :$

所以, $\frac{1}{2} < \frac{4}{5}$ 。

练习 14

【答案】 $\frac{15}{16} > \frac{1}{2} > \frac{7}{16} > \frac{1}{4}$ 。

【解析】取四段相同长度的线段,将其平均分成若干份后表示出 $\frac{7}{16} 、 \frac{1}{2} 、 \frac{15}{16} 、 \frac{1}{4}$ 四个分数,比较表示分数对应长度的大小来判断分数的大小。

练习 15

【答案】 $\frac{3}{9}$ 。

【解析】加了一个做题背景, 实质还是同分母相加,分母不变,分子相加。 $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9}$ 。

练习 16

【答案】 $\frac{1}{4}$ 。

【解析】第一只大象运木材的 $\frac{1}{2}$ ,图形表示为:___

第二只大象和第三只大象一共运了剩下木材 63

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级第二只大象和第三只大象分别运了木材的 $\frac{1}{4}$ , 图形表示为:___

练习 17

【答案】 $\frac{1}{5}$ 。

【解析】把整个蛋糕当作单位“1”，丁丁吃掉了蛋糕的 $\frac{1}{5}$ ，丁丁妈妈吃掉了蛋糕的 $\frac{1}{5}$ ，丁丁爸爸吃掉了蛋糕的 $\frac{2}{5}$ ,则丁丁拿给好朋友的蛋糕占了整个蛋糕的: $1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ 。

练习 18

【答案】 $\frac{3}{8}$ 。

【解析】加了一个做题背景, 实质还是同分母相减，分母不变，分子相减。 $\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$ 。

探索知识巅峰

【答案】一样多。

【解析】画图表示:

第二块:

根据图可以看出, 剩的一样多。

第11讲和倍问题

练习 1

【答案】彩色粉笔有 40 盒，白色粉笔有 200 盒。

【解析】题中有和 (240) 有倍数 (5 倍), 所以为和倍问题，其中彩色粉笔的数量是一倍数，白色粉笔是多倍数，用画图法:

彩色粉笔:___

白色粉笔:

彩色粉笔:240÷(5 + 1)= 40(盒)。白色粉笔: $40 \times 5 = 200$ (盒)。

练习 2

【答案】柳树有 52 棵, 杨树有 208 棵。

【解析】题目中有和有倍数, 是和倍问题, 柳树是一倍数，杨树是多倍数，画线段图:

柳树:260÷(1+4)=52(棵)，

杨树:52×4=208(棵)。

练习 3

【答案】被除数是 119，除数是 17。

【解析】在除法算式中,商是被除数与除数的倍数关系，题目有和有倍数，是和倍问题，画线段图:

除数: $136 \div (1 + 7) = 17$ ,

被除数: $17 \times 7 = 119$ 。

练习 4

【答案】570 千克。

【解析】题目中有倍数关系, 有和, 是和倍问题。画乙桶油注入甲桶后的线段图:

乙:___

现在乙的重量为:1000÷(1+4)=200(千克)。则原来乙桶的重量为 $200 + 15 = 215$ (千克)，甲和原来的重量为:1000-215=785(千克)，甲和乙原来的差为:785-215=570(千克)。

练习 5

【答案】 128 平方厘米。

【解析】先找出长和宽的和 $48 \div 2 = 24$ (厘米), 再利用和倍关系求解。先画线段图:

宽: $0 \cdot 0 \cdot 124$

宽: $24 \div (1 + 2) = 8$ (厘米),

长: $8 \times 2 = 16$ (厘米),

面积:16×8=128(平方厘米)。

练习 6

【答案】甲数是 210 , 乙数是 21 。

【解析】根据甲数的末尾是 0 , 如果把甲数末尾的 0 去掉，正好等于乙数，知道甲是乙的 10 倍，再根据题意知道甲、乙两数的和是 231 , 由此利用和倍问题，画线段图:

乙:

乙: $231 \div (1 + 10) = 21$ ,

甲: $21 \times 10 = 210$ 。

练习 7

【答案】犀牛重 370 千克，大象重 1130 千克。

【解析】题目中有和与倍数,可以画线段图:

图中非整倍数部分要先去掉，转化成整倍数问题。犀牛:(1500-20)÷(1+3)=370(千克)。

大象:370×3+20=1130(千克)或 1500-370 $= 1130$ (千克)。

练习 8

【答案】故事书有 39 本，连环画有 8 本。

【解析】根据题目,知道故事书比连环画的 4 倍多 7 本，画线段图:

把多出来的 7 本拿走，就变成了整倍数问题。

连环画: $(47 - 7) \div (1 + 4) = 8$ (本),

故事书: $8 \times 4 + 7 = 39$ (本) 或 $47 - 8 = 39$ (本)。

练习 9

【答案】第一个仓库原来有 81 吨粮食，第二个仓库原来有 92 吨粮食。

【解析】根据题目中的和与倍数, 是和倍问题, 画线段图:

第一个:

第二个:

把非整倍数部分去掉, 变成整倍数问题。

第一个仓库:(173-38-6)÷(1+2)=43(吨)，

第一个仓库原来:43+38=81(吨)，

第二个仓库:43×2+6=92(吨)或 173-81=92 (吨)。

练习 10

【答案】大猴子有 133 只，小猴子有 47 只。

【解析】题目中有和有倍数, 是和倍问题。画线段图 :

把少的部分补上，变成整倍数问题。

小猴子: $(180 + 8) \div (1 + 3) = 47$ (只)。大猴子: $47 \times 3 - 8 = 133$ (只) 或 $180 - 47 = 133$ (只)。

练习 11

【答案】第一段长 65 米,第二段长 45 米,第三段长 130 米。

【解析】根据题目中的和与倍数, 判断为和倍问题, 画线段图:

把少的部分补上, 变成整倍数问题。

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

第一段: $(240 + 20 \div (1 + 1 + 2) = 65 (米) ，)$

第二段:65-20=45(米)，

第三段:65×2=130(米)或 240-65-45=130 (米)。

练习 12

【答案】甲是 126 , 乙是 42 , 丙是 9 。

【解析】根据题目的和与倍数, 画出线段图:

把少的部分补上,变成整倍数问题。

丙: $(177 + 3 \times 4) \div (1 + 5 + 5 \times 3) = 9$ ,

乙: $9 \times 5 - 3 = 42$ ,

甲: $42 \times 3 = 126$ 或 $177 - 9 - 42 = 126$ 。

练习 13

【答案】牛牛有 20 元, 田田有 60 元, 丁丁有 120 元钱。

【解析】根据题目的和与倍数, 画线段图:

牛牛: $200 \div (1 + 3 + 6) = 20$ (元)。

田田:20×3=60(元)。

丁丁: $60 \times 2 = 120$ (元) 或 200-20-60=120(元)。

练习 14

【答案】孩子 8 岁，妈妈和爸爸都是 32 岁。

【解析】发现题目有和与倍数, 是和倍问题, 画线段图:

孩子: $72 \div (1 + 4 + 4) = 8$ (岁),

妈妈:8×4=32(岁)，

爸爸: $8 \times 4 = 32$ (岁)。

练习 15

【答案】9 人。

【解析】根据题意，最后所要求的为三年级(1) 班比四年级(2)班少几人。因此三、四年级总人数分别用三年级(1)班和四年级(2)班人数表示。由于三年级(1)班比三年级(2)班多 4 人，则三年级共有学生:2×三年级(1)班一4；四年级共有学生:2 大四年级(2)班 - 5；而三年级比四年级少 17 人，则有:2 × 三年级(1)班 —— 4 + 17 = 2 × 四年级(2)班 - 5，可得四年级(2)班比三年级(1)班多 9 人。

练习 16

【答案】梨树有 140 棵, 桃树有 292 棵, 苹果树有 120 棵。

【解析】根据题目的和与倍数, 画线段图:

利用“多去少补”转化为整倍数问题。

梨树的棵数: $(552 + 20 - 12) \div (1 + 1 + 2) = 560 \div 4 = 140$ (棵)。

桃树的棵数: $140 \times 2 + 12 = 292$ (棵)。苹果树的棵数: $140 - 20 = 120$ (棵) 或 552-140-292 $= 120$ (棵)。

练习 17

【答案】养殖场养的鸡有 932 只, 鸭有 200 只, 鹅有 330 只。

【解析】题目中有和与倍数, 是和倍问题, 而且是非整倍数问题，由于题目中是三量之间的非整倍关系，画图法比较麻烦，可以根据画图法原理，用假设法。假设一倍鸭的只数看作 1 份, 鸡的只数看作 4 份，鹅的只数看作 2 份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于鸭的:1+4+2=7(份)。而鸡、鸭、

鹅的总只数可以看作: 1462 - 132 + 70 = 1400 (只) (多去少补, 转化成整倍数)。用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数。鸭的只数:(1462-132+70)÷(1+4+2)=200 (只),鸡的只数: $200 \times 4 + 132 = 932$ (只),

鹅的只数:200×2－70=330(只)。

练习 18

【答案】31 元。

【解析】根据条件, 画出线段图:

丁丁:

田田

牛牛

根据“多去少补”转化成整倍数问题。

牛牛:(154+5-7)÷(1+3+3+12)=8(元)。丁丁: $8 \times 3 + 7 = 31$ (元)。

探索知识巅峰

【答案】121 万元。

【解析】如果老王把钱给大儿子，那么大儿子所得的钱是二儿子和三儿子所得钱的总和，也就是说二儿子和三儿子所得钱的总和占到总金额的一半，即 $264 \div 2 = 132$ (万元)；由第二个条件，知道大儿子和三儿子所得钱的总和是 $264 \div 3 \times 1 = 88$ (万元)；由第三个条件，知道大儿子和二儿子所得钱的总和是 $264 \div 4 \times 1 = 66$ (万元)。于是大儿子、二儿子、三儿子三人所得钱总和是 $(132 + 88 + 66) \div 2 = 143$ (万元),于是老王准备拿来当养老金的那部分是 $264 - 143 = 121$ (万元)。

第 12 讲差倍问题

练习 1

【答案】丁丁 12 岁，乐乐老师 36 岁。

【解析】根据题目中的差与倍数关系, 是差倍问题，画线段图，丁丁年龄是一倍数。

丁丁: $24 \div (3 - 1) = 12$ (岁)。

乐乐老师: $12 \times 3 = 36$ (岁) 或 $12 + 24 = 36$ (岁)。

练习 2

【答案】 70 元。

【解析】根据题目中的差和倍数, 确定为差倍问题, 画出线段图。现在的钱数为一倍数, 少看了个 0 ，相当于原来是现在的 10 倍。

现在: 原来:

现在:63÷(10-1)=7(元)，

原来: $7 \times 10 = 70$ (元) 或 $7 + 63 = 70$ (元)。

练习 3

【答案】再过 15 年。

【解析】牛牛和妈妈的年龄差不变,为 $33 - 9 =$ 24(岁)，牛牛的年龄是妈妈年龄的一半即妈妈的年龄是牛牛的 2 倍，有差有倍数，是差倍问题，画线段图 :

牛牛: 妈妈:

牛牛: $24 \div (2 - 1) = 24$ (岁), $24 - 9 = 15$ (年)。

练习 4

【答案】男生有 6 人，女生有 21 人。

【解析】根据题目中的差 15 人和倍数关系, 判断为差倍问题，画出线段图:

根据“多去少补”，把非整倍数问题转化成整倍

数问题。男生:(15 + 3)÷(4 - 1)=6(人)。女生: 6+15=21(人) 或 6×4-3=21(人)。

练习 5

【答案】足球有 45 个，排球有 95 个。

【解析】根据题目中的差为 50, 倍数关系为 3 倍少 40，确定为差倍问题，画出线段图:

排球:

根据“多去少补”将非整倍数问题转化成整倍数问题。

足球: $(50 + 40) \div (3 - 1) = 45$ (个),

排球: $45 + 50 = 95$ (个) 或 $45 \times 3 - 40 = 95$ (个)。

练习 6

【答案】第一筐有 810 个，第二筐有 150 个。

【解析】根据移多补少知识,可以算出第一筐与第二筐的差为 $300 \times 2 + 60 = 660$ (个),有差有倍数关系, 差倍问题。画线段图:

第二筐:

第一筐:

根据“多去少补”将非整倍数问题转化为整倍数问题。

第二筐: $(660 - 60) \div (5 - 1) = 150$ (个)，

第一筐: $150 + 660 = 810$ (个) 或 $150 \times 5 + 60 = 810$ (个)。

练习 7

【答案】一校区原来有 380 人，二校区原来有 920 人。

【解析】由于两个校区同时调走相同的人数, 差不变。差仍为 540 人，根据差和倍数关系，画线段图:

一校区:540÷(4-1)=180(人)，一校区原来的人数为 $180 + 200 = 380$ (人)。二校区原来的人数为 $180 \times 4 + 200 = 920$ (人) 或 $380 + 540 =$ 920(人)。

练习 8

【答案】甲粮库剩下 200 吨稻谷，乙粮库剩下 40 吨稻谷, 各运出 300 吨。

【解析】由于甲、乙两个粮库运出同样多的稻谷,则差不变,仍为 $500 - 340 = 160$ (吨),根据差和倍数关系,画线段图:

乙:

甲:

乙现在 160 ÷ (5 - 1) = 40 (吨), 甲现在 40 + 160 $= 200$ (吨) 或 $40 \times 5 = 200$ (吨),运出的重量为 $340 - 40 = 300$ (吨)。

练习 9

【答案】两人各买 6 张。

【解析】根据题目已知条件,两人同时购买相同数量的贺卡后，差没有变，仍为 48-12=36 (张)，所以确定为差倍问题。画线段图:

阿普: 牛牛:

阿普:36÷(3-1)=18(张)。

所以应该买 18-12=6 (张)。

练习 10

【答案】甲是 200 , 乙是 250 。

【解析】甲、乙两数的差为 50 , 倍数关系为乙数比甲数的 3 倍少 350 。根据差与倍数关系，画线段图:

根据“多去少补”将非整倍数问题转化成整倍数问题。甲:(50 + 350)÷(3-1)=200。

乙: $200 + 50 = 250$ 或 $200 \times 3 - 350 = 250$ 。

练习 11

【答案】田田有 30 本, 牛牛有 75 本。

【解析】根据已知条件可知, 两人书的差为 45 本，倍数关系为牛牛的书比田田书的 4 倍少 45 本，差倍问题，画线段图:

田田:

牛牛:

田田:(45+45)÷(4-1)=30(本)，

牛牛:30 + 45=75(本)或 30 × 4-45=75(本)。

练习 12

【答案】上层有 24 本，下层有 16 本。

【解析】根据已知条件,知道上下两层的差为 8, 倍数关系为上层比下层的 2 倍少 8 本。画出线段图:

下层:

上层:

下层: $(8 + 8) \div (2 - 1) = 16$ (本)，

上层: $16 + 8 = 24$ (本) 或 $16 \times 2 - 8 = 24$ (本)。

练习 13

【答案】两桶油原来分别有 46 千克。

【解析】根据甲桶减少 26 千克, 乙桶增加 14 千克,得出现在两桶油重量的差为 $26 + 14 =$ 40(千克)，根据差与倍数关系画出线段图。

甲:

乙:

甲桶油现在的重量为:(26 + 14)÷(3 - 1)= 20(千克)，原来甲桶油的重量为:20 + 26 = 46 (千克)，乙桶与甲桶相等，所以乙桶油原来也是 46 千克。

练习 14

【答案】阿普和牛牛原来各有 200 元钱。

【解析】牛牛向阿普借完钱后, 两人的差为 120 $\times 2 = 240$ (元)。根据倍数关系，画出线段图:

阿普: 牛牛:

阿普现在的钱数为 $240 \div (4 - 1) = 80$ (元),阿普原来的钱数为 $80 + 120 = 200$ (元),牛牛和阿普的钱数一样，也是 200 元。

练习 15

【答案】原来两根彩带的长度都是 29 米。

【解析】根据红色用去 13 米, 黄色用去 25 米, 可知剩下的彩带长度相差 $25 - 13 = 12$ (米)。根据倍数关系，画出线段图:

黄色还剩下的长度为:12÷(4-1)=4(米)，则原来的长度为 $4 + 25 = 29$ (米),那么红色彩带的长度也是 29 米。

练习 16

【答案】牛牛今年 22 岁，阿普今年 110 岁。

由题意，牛牛今年的年龄为一倍数，22 年后牛牛年龄为一倍数 +22 ; 阿普今年的年龄为五倍数, 22 年后阿普的年龄为五倍数 +22 。根据 22 年后阿普是牛牛年龄的 3 倍,即 $3 \times$ (一倍数 +22 ) = 五倍数 +22。所以一倍数 = 22 岁，所以牛牛今年的年龄是 22 岁，阿普今年的年龄为 $22 \times 5 = 110$ (岁)。

练习 17

【答案】田田今年 13 岁，爸爸今年 61 岁。

【解析】

把田田 7 年前的年龄作为一倍量, 则 11 年后即一倍量 +7+11。爸爸 7 年前的年龄为 9 倍量, 11 年后为 9 倍量 +7 +11。根据 11 年后爸爸是田田年龄的 3 倍,即 $3 \times (一倍量 + 7 + 11) = 9$ 倍量 +7+11,可以得出 3 倍量 +54 =9 倍量 +18 , 1 倍量 $= (54 - 18) \div (9 - 3) = 6$ (岁)，田田今年的年龄为 $6 + 7 = 13$ (岁)。爸爸 7 年前的年龄为 $6 \times 9 = 54$ (岁),今年的年龄为 $54 + 7 = 61$ (岁)。

练习 18

【答案】阿普原来有 3 本故事书，丁丁原来有 18 本故事书。

【解析】把阿普原来有故事书的数量作为 1 倍量，增加 2 本后，为 1 倍量 +2 ；丁丁原来有故事书的数量为 6 倍量，增加 2 本后为 6 倍量 +2 。现在丁丁的数量是阿普的 4 倍，即 $4 \times$ (1 倍量十 $2) = 6$ 倍量十 2,所以 1 倍量 $= (2 \times 4 - 2) \div (6 -$ 4) $= 3$ (本),即阿普原来有故事书的数量为 3 本, 则丁丁原来有故事书的数量为 $6 \times 3 = 18$ (本)。

探索知识巅峰

【答案】 7 平方厘米。

【解析】把三角形的面积作为一倍数, 画线段图:

三角形: 圆形:

根据已知条件，圆和三角形除去重叠部分，即圆和三角形的面积减去一个相同的数，则剩下的面积的差不变，同增同减差不变，仍为 14 平方厘米,则三角形原来的面积为 $14 \div (3 - 1) = 7$ (平方厘米)。

第 13 讲巧算乘法

练习 1

【答案】(1)27000；(2)4800。

【解析】(1)27×125×8

$= 27 \times (125 \times 8)$

$= 27 \times 1000$

$= 27000$ ;

(2)6×25×4×8

$= (6 \times 8) \times (25 \times 4)$

$= 48 \times 100$

$= 4800$ 。

练习 2

【答案】(1)6000；(2)7000；(3)9000；(4)3900。【解析】

(1)8×6×125 (2) $4 \times 7 \times 25 \times 10$

$= 8 \times 125 \times 6 = (4 \times 25) \times (7 \times 10)$

$= 1000 \times 6 = 100 \times 70$

$= 6000$ ; $= 7000$ ;

(3) $8 \times 45 \times 25$ (4) $4 \times 13 \times 75$

$= 4 \times 2 \times 45 \times 25 = 4 \times 13 \times 25 \times 3$

$= (4 \times 25) \times (2 \times 45) = (4 \times 25) \times (13 \times 3)$

$= 100 \times 90 = 100 \times 39$

$= 9000$ ； $= 3900$ 。

练习 3

【答案】 456000000。

【解析】 $456 \times 2 \times 125 \times 25 \times 5 \times 4 \times 8$

$= 456 \times (2 \times 5) \times (125 \times 8) \times (25 \times 4)$

$= 456 \times 10 \times 1000 \times 100$

$= 456000000$ 。

练习 4

【答案】(1)900；(2)3000；(3)

【解析】(1) $25 \times 36$ (2)125×24

$= 25 \times 4 \times 9 = 125 \times 8 \times 3$

$= 100 \times 9 = 1000 \times 3$

$= 900$ ; $= 3000$ ;

(3) $25 \times 64 \times 19 \times 125$

$= 25 \times 4 \times 8 \times 2 \times 19 \times 125$

$= (25 \times 4) \times (8 \times 125) \times (2 \times 19)$

$= 100 \times 1000 \times 38$

$= 3800000$ 。

练习 5

【答案】(1)1000000 ; (2)1000000 ; (3)1000000； (4)7000；(5)2000。

【解析】

(1) $25 \times 64 \times 125 \times 5$

$= 25 \times 4 \times 2 \times 8 \times 125 \times 5$

$= (25 \times 4) \times (2 \times 5) \times (8 \times 125)$

$= 100 \times 10 \times 1000$

$= 1000000$ ;

(2)125×125×64

$= 125 \times 125 \times 8 \times 8$

$= (125 \times 8) \times (125 \times 8)$

$= 1000 \times 1000$

$= 1000000$ ;

(3) $32 \times 25 \times 125$

$= 4 \times 8 \times 25 \times 125$

$= (4 \times 25) \times (8 \times 125)$

$= 100 \times 1000$

$= 100000$ ;

参考答案

(4)56×125

$= 7 \times (8 \times 125)$

$= 7 \times 1000$

$= 7000$ ;

(5) $16 \times 25 \times 5$

$= 2 \times 4 \times 2 \times 25 \times 5$

$= (2 \times 5) \times (4 \times 25) \times 2$

$= 10 \times 100 \times 2$

$= 2000$ 。

练习 6

【答案】(1)3876；(2)52074；(3)12337532。

(1) $38 \times 102$

$= 38 \times (100 + 2)$

$= 38 \times 100 + 38 \times 2$

$= 3800 + 76$

$= 3876$

(2) $526 \times 99$

$= 526 \times (100 - 1)$

$= 526 \times 100 - 526$

$= 52600 - 526$

$= 52074$ ;

(3) $1234 \times 9998$

$= 1234 \times (10000 - 2)$

$= 1234 \times 10000 - 1234 \times 2$

$= 12340000 - 2468$

$= 12337532$ 。

练习 7

【答案】(1)350；(2)3774；(3)2277。

【解析】(1) $25 \times (4 + 10)$

$= 25 \times 4 + 25 \times 10$

$= 100 + 250$

$= 350$ ；

(2)37×(100＋2)

$= 37 \times 100 + 37 \times 2$

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

$= 3700 + 74$

$= 3774$ ;

(3)23×99

$= 23 \times (100 - 1)$

$= 23 \times 100 - 23 \times 1$

$= 2300 - 23$

=2277 。

练习 8

【答案】13700。

【解析】 137 $\times 25 + 137 \times 75$

$= 137 \times (25 + 75)$

$= 137 \times 100$

$= 13700$ 。

练习 9

【答案】(1)9900；(2)199600。

【解析】(1) $54 + 99 \times 99 + 45$

$= 99 \times 99 + (54 + 45)$

$= 99 \times 99 + 99 \times 1$

$= 99 \times (99 + 1)$

$= 99 \times 100$

$= 9900$ ;

(2) $156 + 78 \times 1994 + 22 \times 1996$

$= 78 \times 2 + 78 \times 1994 + 22 \times 1996$

$= 78 \times (2 + 1994) + 22 \times 1996$

$= 78 \times 1996 + 22 \times 1996$

$= 1996 \times (78 + 22)$

$= 1996 \times 100$

$= 199600$ 。

练习 10

【答案】(1)201600；(2)1000000。

【解析】(1) $80 \times 2016 - 2 \times 2016 + 2016 \times 22$

$= 2016 \times (80 - 2 + 22)$

$= 2016 \times 100$

$= 201600$ ；

(2) $1999 + 999 \times 999$

$= 1000 + 999 + 999 \times 999$

$= 1000 + 999 \times (999 + 1)$

$= 10000 + 999000$

$= 1000000$ 。

练习 11

【答案】(1)2250；(2)2400。

【解析】(1) $125 \times (10 + 8)$

$= 125 \times 10 + 125 \times 8$

$= 1250 + 1000$

$= 2250$ ;

(2) $(100 - 4) \times 25$

$= 100 \times 25 - 4 \times 25$

$= 2500 - 100$

$= 2400$ 。

练习 12

【答案】99980001。

【解析】9999×7777+3333×6666

$= 9999 \times 7777 + 3333 \times 3 \times 2222$

$= 9999 \times 7777 + 9999 \times 2222$

$= 9999 \times (7777 + 2222)$

$= 9999 \times 9999$

$= 9999 \times (10000 - 1)$

$= 99990000 - 9999$

$= 99980001$ 。

练习 13

【答案】(1)255000；(2)999000。

【解析】(1) $255 \times 999 + 255 \times 2 - 255$

$= 255 \times 999 + 255 \times 2 - 255 \times 1$

$= 255 \times (999 + 2 - 1)$

$= 255 \times 1000$

$= 255000$ ;

(2) $999 \times 778 + 333 \times 666$

$= 999 \times 778 + 333 \times 3 \times 222$

$= 999 \times 778 + 999 \times 222$

$= 999 \times (778 + 222)$

$= 999 \times 1000$

$= 999000$ 。

练习 14

【答案】 256256。

【解析】 $1001 + 255 \times 999 + 255 \times 2$

$= 1001 + 255 \times (999 + 2)$

$= 1001 + 255 \times 1001$

$= 1001 \times (1 + 255)$

$= 1001 \times 256$

$= 256256$ 。

练习 15

【答案】1000000。

【解析】

$211 \times 555 + 445 \times 789 + 555 \times 789 + 211 \times 445$

$= 555 \times (211 + 789) + 445 \times (211 + 789)$

$= 555 \times 1000 + 445 \times 1000$

$= 1000 \times (555 + 445)$

$= 1000 \times 1000$

$= 1000000$ 。

练习 16

【答案】(1)0；(2)1089，264；(3)1221，4216； (4)2849 , 2236 。

【解析】

(1) 20162016×2015−20152015×2016 $= 2016 \times 10001 \times 2015 - 2015 \times 10001 \times 2016 = 0$ ;

(2) 9 9

1 A

10 8 9 26 4

(3)33×37 $68 \times 62$

前两位: $3 \times 4 = 12$ ,前两位: $6 \times 7 = 42$ ,

后两位: $7 \times 3 = 21$ , 后两位: $8 \times 2 = 16$ ,

结果:1221。结果:4216。

(4)37×77 $26 \times 86$

前两位: $3 \times 7 + 7 = 28$ ,前两位: $2 \times 8 + 6 = 22$ ,

后两位: $7 \times 7 = 49$ , 后两位: $6 \times 6 = 36$ ,

结果:2849。结果:2236。

练习 17

【答案】(1)385；(2)748；(3)3021；(4)2024；

(5)1764; (6)2304。

【解析】

(1)35×11=385； (2) $68 \times 11 = 748$ ；

(3) $57 \times 53 = 3021$ ； (4)46×44=2024；

(5) $18 \times 98 = 1764$ ； (6) $32 \times 72 = 2304$ 。

练习 18

【答案】0。

【解析】330033 可以看作是 00330033 , 即 0033 重复出现了 2 次。

$33 \times 20102010 - 2010 \times 330033$

$= 33 \times 2010 \times 10001 - 2010 \times 33 \times 10001$

$= 0$ 。

探索知识巅峰

【答案】 4 。

【解析】 $6 \times 4444 \times 2222 + 3333 \times 5555$

$= 1111 \times 1111 \times 6 \times 4 \times 2 + 1111 \times 1111 \times 3 \times 5$

$= 1111 \times 1111 \times 63$

$= 1111 \times 1111 \times 9 \times 7$

$= 9999 \times 7777$

$= (10000 - 1) \times 7777$

$= 77762223$ ,

因此,有 4 个数字是奇数。

第 14 讲巧算除法

练习 1

【答案】(1)17；(2)203。

【解析】(1) 把 2125 和 125 同时乘 8 ，变成 $17000 \div 1000 = 17; (2)$ 把 81200 和 400 同时除以 100,变成 $812 \div 4 = 203$ 。

练习 2

【答案】(1)41；(2)222。

【解析】(1) 把 5125 和 125 分别扩大 8 倍，变为 41000 和 1000 , 得 41000÷1000 = 41。

(2)把 1110 和 5 分别扩大 2 倍，变为 2220 和 10，得 $2220 \div 10 = 222$ 。

练习 3

【答案】 246642。

【解析】被除数与除数同乘 2:1233210÷5= $(1233210 \times 2) \div (5 \times 2) = 2466420 \div 10 = 246642$ 。

练习 4

【答案】(1)213；(2)7。

【解析】(1) 用 888 和 816 分别除以 8 后计算加法,得 $111 + 102 = 213$ ; (2) 用 230 和 69 分别除以 23 后计算减法,得 $10 - 3 = 7$ 。

练习 5

【答案】(1)103；(2)104。

【解析】先用括号内的数除以除数,然后再加减:(1)(350 + 165)÷5=350÷5+165÷5=70 $+ 33 = 103$ 。

(2) $(2613 - 1339 + 78) \div 13 = 2613 \div 13 - 1339 \div 13 + 78 \div 13 = 201 - 103 + 6 = 104$ 。

练习 6

【答案】(1)2;(2)3。

【解析】(1)把被除数加起来再除以除数:39÷ $23 + 7 \div 23 = (39 + 7) \div 23 = 46 \div 23 = 2$ 。

(2) $5 \div 17 + 32 \div 17 + 14 \div 17 = (5 + 32 + 14) \div 17 = 51 \div 17 = 3$ 。

练习 7

【答案】(1)15；(2)287。

【解析】用带符号搬家的性质计算:(1)525÷7 $\div 5 = 525 \div 5 \div 7 = 105 \div 7 = 15$ ; (2) $205 \times 7 \div 5 = 205 \div 5 \times 7 = 41 \times 7 = 287$ 。

练习 8

【答案】(1)168 ;(2)21。

【解析】带除号搬家: (1)126×8÷6=126÷6× $8 = 21 \times 8 = 168$ 。

(2) $945 \div 5 \div 9 = 945 \div 9 \div 5 = 105 \div 5 = 21$ 。

练习 9

【答案】(1) 15 ; (2) 1 。

【解析】带除号搬家: (1) $35 \times 12 \div 7 \div 4 =$ (35÷ 7) $\times (12 \div 4) = 5 \times 3 = 15$ 。

(2) $46 \times 18 \div (23 \times 36) = 46 \times 18 \div 23 \div 36 = 46 \div 23 \times 18 \div 36 = 2 \times 18 \div 36 = 1$ 。

练习 10

【答案】(1)3；(2)20。

【解析】(1)去括号:408÷(8×17)=408÷8÷ $17 = 51 \div 17 = 3; (2)$ 添括号:1260÷7÷9= $1260 \div (7 \times 9) = 1260 \div 63 = 20$ 。

练习 11

【答案】(1)230；(2)4.

【解析】加括号把一部分先算: (1) $460 \div 500 \times 250 = 460 \div (500 \div 250) = 460 \div 2 = 230$ 。

(2) $4000 \div 125 \div 8 = 4000 \div (125 \times 8) = 4000 \div 1000 = 4$ 。

练习 12

【答案】 5 。

【解析】混合类型的简便运算, $85 \div 37 + 300 \div$

$(37 \times 3) = 85 \div 37 + 300 \div 37 \div 3 = 85 \div 37 + 300 \div 3 \div 37 = 85 \div 37 + 100 \div 37 = (100 + 85) \div 37 = 185 \div 37 = 5$ 。

练习 13

【答案】(1)68; (2)1211。

【解析】(1) $3468 \div 51 = 3468 \div (17 \times 3) = 3468 \div 17 \div 3 = 204 \div 3 = 68; (2) 30275 \div 25 = (30000 + 275) \div 25 = 30000 \div 25 + 275 \div 25 = 1200 + 11 = 1211$ 。

练习 14

【答案】(1)34；(2)901。

【解析】(1) 把 39 分解成 $3 \times 13 : 1326 \div 39 = 1326 \div (3 \times 13) = 1326 \div 13 \div 3 = 102 \div 3 = 34$ 。

(2)把 8109 分解成 $8100 + 9 : 8109 \div 9 =$ (8100 + 9) $\div 9 = 8100 \div 9 + 9 \div 9 = 900 + 1 = 901$ 。

练习 15

【答案】1。

【解析】先去括号,再把一样的放在一起: $7 \div (5 \div 11) \times (15 \div 11) \div (15 \times 7) \times 5 = 7 \div 5 \times 11 \times 15 \div 11 \div 15 \div 7 \times 5 = (7 \div 7) \times (11 \div 11) \times (15 \div$ 15) $\times (5 \div 5) = 1$ 。

练习 16

【答案】30。

【解析】 $(30 \times 18) \div (18 \div 8) \div (8 \div 1) = 30 \times 18 \div 18 \times 8 \div 8 = 30$ 。

练习 17

【答案】1。

【解析】去括号再计算: $426 \div (213 \div 13 \times 26) = 426 \div 213 \times 13 \div 26 = 2 \times 13 \div 26 = 26 \div 26 = 1$ 。

练习 18

【答案】2。

【解析】先去括号,再把相似的放在一起: $17 \div 25 \times 26 \times 27 \div (9 \div 25) \div (39 \times 17) = 17 \div 25 \times 26 \times 27 \div 9 \times 25 \div 39 \div 17 = (17 \div 17) \times (25 \div 25) \times (27 \div 9) \times 26 \div 39 = 3 \times 26 \div 39 = 3 \times 13 \times 2 \div 39 = 2$ 。

探索知识巅峰

【答案】(1)30；(2)108。

【解析】(1) 椅子数:1291290 ÷ 43043 = $(1291290 \div 1001) \div (43043 \div 1001) = 1290 \div 43 = 30$ 。

(2)把容易算的结合在一起: $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \dots \times 10 \times 11 \div (22 \times 24 \times 25 \times 28) = (2 \times 11 \div 22) \times (3 \times 8 \div 24) \times (10 \times 5 \div 25) \times (4 \times 7 \div 28) \times 6 \times 9 = 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 6 \times 9 = 108$ 。

第 15 讲鸡兔同笼进阶

练习 1

【答案】鸡有 40 只，兔子有 5 只。

【解析】方法一:假设 45 只动物都是兔子，那么共有脚 $4 \times 45 = 180$ (只)，比 100 只脚多了 $180 - 100 = 80$ (只)。每只鸡比兔子少 $4 - 2 = 2$ (只)脚,那么共有鸡 $80 \div 2 = 40$ (只),兔子的只数 $45 - 40 = 5$ (只)。

方法二:首先砍去每只鸡和每只兔的两只脚，这样每只鸡就没有脚了，每只兔子就剩下了两只脚，脚的总数也就变成了 $100 - 45 \times 2 = 10$ (只)，那么这 10 只脚都是砍掉两只脚后的兔子的脚，所以兔子的只数就是 $10 \div 2 = 5$ (只)，鸡的只数就是 $45 - 5 = 40$ (只)。

练习 2

【答案】汽车有 4 辆，三轮车有 37 辆。

【解析】假设都是三轮车,应有 $3 \times 41 = 123$ (个) 轮子，少了 127-123=4 (个)轮子。每把一辆汽车假设为三轮车，会减少 4-3=1 (个)轮子。汽车有 $4 \div 1 = 4$ (辆); 从而求出三轮车有 41-4 $= 37 (辆)$ 。

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

练习 3

【答案】21 人。

【解析】一共有 $80 \div 2 = 40$ (个)孩子。假设每人有 3 个橘子,共有 $40 \times 3 = 120$ (个)橘子，少了 $158 - 120 = 38$ (个),一班每人多了 $5 - 3 = 2$ (个)，所以一班有:38÷2=19(人)，二班有:40一 $19 = 21$ (人)。

练习 4

【答案】 80 只。

【解析】1 只兔和 1 只鸡分为一组, 则一组有 $2 + 4 = 6$ (只) 脚，一共有 240 只脚，可以得到 $240 \div 6 = 40$ (组),每组有一只鸡,所以鸡有 40 $\times 1 = 40$ (只),每组有一只兔,所以兔有 40 只。总数为 $40 \times 2 = 80$ (只)。

练习 5

【答案】28 只。

【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的 20 只的脚数得:208-20 ✗ $2 = 168$ (只)。这 168 只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同) 的和，把一只梅花鹿和一只鸵鸟分为一组，脚数和是: $2 + 4 = 6$ (只),所以梅花鹿的只数是: $168 \div 6 = 28$ (只),从而鸵鸟的只数是: $28 + 20 = 48$ (只)。

练习 6

【答案】鸡有 10 只,兔有 24 只。

【解析】免增加 6 只,是鸡的 3 倍,总腿数: 116 $+ 6 \times 4 = 140$ (条),把 1 只鸡和 3 只兔分成一组, 每组有 $2 + 3 \times 4 = 14$ (条)腿,共有 $140 \div 14 =$ 10(组),所以鸡共有 $10 \times 1 = 10$ (只),兔共有 $10 \times 3 - 6 = 24$ (只)。

练习 7

【答案】60 只。

【解析】1 只鸡有 2 条腿, 1 只兔有 4 条腿, 根据鸡的腿数与兔的腿数相同，可以把 1 只兔与 2 只鸡分为一组，则每组的鸡腿数与兔腿数相同。每组有 $1 + 2 = 3$ (只) 动物,一共有 90 只, 可以分为 $90 \div 3 = 30$ (组),每组 $1 只$ 兔,所以兔的数量为:30×1=30(只)，鸡的数量为:30×2 $= 60$ (只)。

练习 8

【答案】 30 本。

【解析】假设《魔戒》多卖 650 元，应多卖:650÷ $25 = 26$ (本),所以一共卖出: $40 + 26 = 66$ (本),当两种书本的总钱数一样时，可以把 6 本《魔戒》和 5本《哈利波特》分为一组,有 $6 + 5 = 11$ (本),一共可以分 $66 \div 11 = 6$ (组),所以《哈利波特》有 $5 \times 6 = 30$ (本),《魔戒》有 $6 \times 6 - 26 = 10$ (本)。

练习 9

【答案】大房间有 11 间，小房间有 9 间。

【解析】假设大房间减少 30 人即和小房间人数一样多,房间共有: $20 - 30 \div 6 = 15$ (间)。当人数一样时, 可以把 2 间大房间和 3 间小房间分为一组,有 $2 + 3 = 5$ (间), $15 \div 5 = 3$ (组)。所以大房间共有 $3 \times 2 + 5 = 11$ (间),小房间有 $3 \times 3 = 9$ (间)。

练习 10

【答案】 5 个。

【解析】假设 250 个花瓶都完好运到目的地, 这样可得运费 $20 \times 250 = 5000$ (元)。运 1 个完好的花瓶与损坏 1 个花瓶相差 $100 + 20 = 120$ (元)。这样实际比全部完好运完少得 5000 - $4400 = 600$ (元)。所以损坏了 $600 \div 120 =$ 5(个)。

练习 11

【答案】6 发。

【解析】牛牛得分为 $(208 - 64) \div 2 = 72$ (分)，如果牛牛每发都打中，可以得 $20 \times 10 = 200$ (分)，实际少得 $200 - 72 = 128$ (分)，脱靶一发少 $20 + 12 = 32$ (分)；所以牛牛脱靶 $128 \div 32 = 4$ (发)。所以牛牛打中10-4=6(发)。

练习 12

【答案】 20 道。

【解析】三人共得 $87 + 74 + 9 = 170$ (分)，比满分 $10 \times 10 \times 3 = 300$ (分) 少 $300 - 170 = 130$ (分),因此，三个人共做错:130÷(10+3)=10(道)题, 共答对了 30-10=20(道) 题。

练习 13

【答案】鸡兔各有 16 只。

【解析】因为脚没有发生变化, 所以鸡兔一样多，将一只鸡和一只兔子分为一组，一组 6 只脚，96÷ (4+2)=16(只)，鸡兔各 16 只。

练习 14

【答案】 21 名。

【解析】半年定价 $5 \times 6 = 30$ (元),全年定价 $5 \times$ 12=60(元)，若每位学生既定全年又订了半年，则共花费 900 + 990 = 1890 (元)，一共有 1890 ÷ $(30 + 60) = 21$ (名)。

练习 15

【答案】亏了 24 文钱。

【解析】假设全算 5 文钱一斤, 28 斤一共 28 × 5 $= 140$ (文) 钱,比实际多了 $140 - 100 = 40$ (文)。

错算 (羊肉) 3 文钱一斤的有 $40 \div (5 - 3) =$ 20(斤),实际价钱是 $20 \times 5 + (28 - 20) \times 3 =$ 124(文)，124 比 100 多了 124-100 = 24(文)钱，亏了 24 文钱。

练习 16

【答案】犀牛有 8 只，羚羊有 6 只，孔雀有 12 只。

【解析】虽然有三种不同的动物, 但是犀牛和羚羊都是 4 只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”。

假设 26 只都是孔雀，那么就有脚:26×2= 52(只)，比实际的少:80-52=28(只)，这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊。每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数: $4 - 2 = 2$ (只)。所以,孔雀有 $26 - 28 \div 2 =$ 12(只)，犀牛和羚羊总共有 $26 - 12 = 14$ (只)。假设 14 只都是犀牛，那么就有犄角: $14 \times 1 =$ 14(只)，比实际的少:20-14=6(只)，这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊。每增加一只羚羊，减少一只犀牛，特角数就会增加:2-1=1(只)，所以，羚羊的只数: $6 \div 1 =$ 6(只)，犀牛的只数:14-6=8(只)。

练习 17

【答案】7 只。

【解析】因为四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的 2 倍，将两只四脚蛇和一只双头龙看作一组，共 4 个头 12 只脚，相当于 4 只三脚猫。所以可以看作只有独脚兽和三脚猫，假设均为三脚猫，则 58 个头应该有 $58 \times 3 = 174$ (只)脚，所以独脚兽有 $(174 - 160) \div (3 - 1) = 7$ (只)。

练习 18

【答案】 13 名。

【解析】若假设全是三等奖,共有: $9500 \div 50 =$ 190(人)中奖，比实际多:190-100=90(人)。

$1000 \div 50 = 20$ ,也就是说: 把 20 个三等奖换成一个一等奖,奖金总额不变,而人数减少了: 20-1 $= 19$ (人), $250 \div 50 = 5$ ,也就是说: 把 5 个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了: $5 - 1 = 4$ (人)。因为多出的是 90 人，而 90 = $19 \times 2 + 4 \times 13$ 。即:要使总人数为 100 ，只需要把 $20 \times 2 = 40$ 个三等奖换成 2 个一等奖,把 $5 \times 13 = 65$ 个三等奖换成 13 个二等奖就可以了。所以二等奖有 13 个人。

探索知识巅峰

【答案】 14 。

【解析】由白天变成晚上的时候, 每只鹤都会少一条腿，而每只鸡都会少一个头。因为白天和夜晚的足数与头数差一样，所以每有一只鹤少一条腿，就会对应一只鸡少一个头，即鹤的数量等于鸡的数量。所以我们可以把一只鹤和一只鸡分到一个小组，考虑晚上的时候，只有鹤能数出一个头，即到了晚上，每组中 4 条腿对应一个头。而兔子本身也是 4 条腿对应一个头，所以一共 56 条腿，则可以得出晚上的头数为 $56 \div 4 = 14$ (个)。

第 16 讲周期问题进阶

练习 1

【答案】“吃”。

【解析】牛牛的话按“我要吃包子”的规律重复排列,即 5 个字为一个周期。因为 $28 \div 5 =$ 5．．．．．．3，所以前 28 个字里含有 5 个周期还多 3 个字, 即第 28 个字是一个周期中的第 3 个字, 所以第 28 个字是“吃”。

练习 2

【答案】 $△$ 。

【解析】观察,6 个图形 “ $○ △ △ □□□$ ” 一循环，20÷6=3……2，因此，第 20 个图形是 △。

练习 3

【答案】绿色。

【解析】找出规律，“红、黄、绿、黄”4 个为一周期，求第 439 个，439÷4=109……3，故第 439 次出现绿色。

练习 4

【答案】51 枚。

【解析】观察规律: 发现是按照“111225”的顺序重复出现的,且每个周期有 $3 + 2 + 1 = 6$ (枚)硬币。列除法判断有多少个周期: $100 \div 6 = 16 \dots\dots 4$ 。求 1 分的硬币数量: 16 个周期,每个周期有 3 枚 1 分的硬币,余下的 4 枚里有 3 枚 1 分的硬币,所以共有 $16 \times 3 + 3 = 51$ (枚)。

练习 5

【答案】第 87 个是圆形，共 35 个五角星。

【解析】 $87 \div (2 + 3) = 17 \dots\dots 2$ 。第 87 个图形是圆形。 $17 \times 2 + 1 = 35$ (个),共 35 个五角星。

练习 6

【答案】672 个。

【解析】由奇数十奇数 $=$ 偶数,偶数十奇数 $=$ 奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3 个一周期排列的,所以 $2016 \div 3 = 672$ (个) 周期,每个周期里有 1 个偶数, $672 \times 1 = 672$ ,即有 672 个偶数。

练习 7

【答案】 143 。

【解析】观察规律:发现是从第 3 个数开始按照“70253”重复出现，每个周期有 5 个数，且每个周期中所有数的和为: $7 + 0 + 2 + 5 + 3 = 17$ , 只要找出 42 个数里有多少个这样的周期就可以了。列除法判断有多少个周期: $(42 - 2) \div 5 = 8$ (个)。求 42 个数的和,注意,别忘了把最前面的两个数也要加上, $17 \times 8 + 7 + 0 = 143$ 。

练习 8

【答案】9 次。

【解析】甲最多 4 次, 乙最多 3 次, 丙最多 2 次, 和为 9 次。

练习 9

【答案】“数”。

【解析】此题的循环规律是从第四个字开始按照“数学趣味题”5 个字一循环， $(2004 - 3) \div 5 =$ 400……1，所以第 2004 个字是“数”字。

练习 10

【答案】“A 蓝”。

【解析】从整体观察, 发现每 4 列会按照 “A 红, B 黄, A 蓝, B 绿”的规律重复出现。周期为 4 。列除法: $63 \div 4 = 15 \dots\dots 3$ ，所以第 63 组为“A 蓝”。

练习 11

【答案】 24 人。

【解析】循环规律是 1 女生 2 男生, $36 \div 3 = 12$ , 这列队伍中男生有: $2 \times 12 = 24$ (人)。

练习 12

【答案】“鱼宫”。

【解析】要求第 45 组是什么，我们要分别求出上、下两行是什么字，上面一行是以“水煮鱼”三个字为一个周期，下面一行则是以“宫保鸡丁”四个字为一个周期, $45 \div 3 = 15$ ,所以第一行的第 45 个字为“鱼”。 $45 \div 4 = 11 \dots\dots 1$ ,所以第二行的第 45 个字为“宫”。所以第 45 组是“鱼宫”。

练习 13

【答案】8 号队员。

【解析】球在 8 名队员中传一圈看作一组, 每组报 8 个数,72 个数可以分成: $72 \div 8 = 9$ (组), 没有余数, 此时球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在 8 号队员手上。

练习 14

【答案】 208 。

【解析】找出规律, 6 个数 “294736” 一循环, $40 \div 6 = 6 \dots\dots 4$ ,那么前 40 个数字之和是: $(2 + 9 + 4 + 7 + 3 + 6) \times 6 + (2 + 9 + 4 + 7) = 208$ 。

练习 15

【答案】星期六。

【解析】从 6 月 1 日开始, 日期重复出现的规律:五六日一二三四，周期是 7 。从 6 月 1 日算起,到 9 月 1 日总天数: $30 + 31 + 31 + 1 = 93$ (天)，93÷7=13……2，是周期里的第 2 天，所以 9 月 1 日是星期六。

练习 16

【答案】星期五。

【解析】从 3 月 3 日开始, 日期重复出现的规律:一二三四五六日，周期是 7 。从 3 月 3 日算起,到 8 月 8 日总天数: $(31 - 2) + 30 + 31 + 30 + 31 + 8 = 159$ (天), $159 \div 7 = 22 \dots\dots 5$ ,所以是一个周期的第 5 天，也就是星期五。

练习 17

【答案】星期五。

【解析】一周 7 天, $(20 - 3 + 1) \div 7 = 2 \dots\dots 4$ ,从星期二开始数第 4 天是星期五，所以 5 月 20 日是星期五。

练习 18

【答案】1。

【解析】只要能发现旋转周期现象, 并充分加以利用，就能较快找到解题的关键。本题中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子青蛙每跳 12 步就回到了原来的位置，如此循环，周期为 12。因为 $2017 \div 12 = 168 \dots\dots 1$ ,所以,青蛙跳了 2017 步后落到了标有数字 1 的圆圈。

探索知识巅峰

【答案】A。

【解析】此题要先找出一年会有多少个星期, 2006 年有 365 天,而 $365 = 7 \times 52 + 1$ ,又已知 2006 年有 53 个星期日, 只能元旦是星期日, 且 12 月 31 日也是星期日, 所以 2007 年的元旦是星期一。

第 17 讲盈亏问题

练习 1

【答案】 6 个。

【解析】第一种发礼物的方法与第二种发礼物的方法都会有剩余的礼物, 第二种方法比第一种方法多剩下: $9 - 3 = 6$ (个)。这 6 个礼物被分给所有小朋友,每人分到: $5 - 4 = 1$ (个)。所以，可以计算出共有小朋友:6÷1=6(个)。

练习 2

【答案】 29 根。

【解析】小白兔的两种吃法都会剩下萝卜,第一种方法比第二种方法多剩下: $15 - 1 = 14$ (根), 这 14 根萝卜分到每一天可以吃: 4-2=2 (根), 小白兔这筐萝卜是打算吃: 14÷2=7 (天), 所以一筐萝卜一共有 $4 \times 7 + 1 = 29$ (根)。

练习 3

【答案】 20 元。

【解析】两种筹钱方式都是钱准备多了, 第二种方法比第一种方法多了: 30-5=25 (元), 这 25 元是因为每个小朋友多出了: $10 - 5 = 5$ (元),一共有小朋友: $25 \div 5 = 5$ (人),所以小朋友们想买的礼品定价是 $5 \times 5 - 5 = 20$ (元)。

练习 4

【答案】 22 根。

【解析】小白兔的两种吃法都会出现萝卜不够吃的现象，第二种方法与第一种方法萝卜相差: $8 - 3 = 5$ (根)。这 5 根萝卜分到每一天可以吃: 6-5=1 (根)。小白兔这筐萝卜是打算吃: 5÷1=5 (天)。所以,一筐萝卜一共有: $5 \times 5 - 3 = 22$ (根)。

练习 5

【答案】 25 人。

【解析】每个帐篷住 4 个人和每个帐篷住 3 个人都会剩下床位没有人住。住 4 个人的时候会比住 3 个人的时候多余出床位:15-5=10(个)。因为每个帐篷多加了 1 个床位，所以这次共有帐篷:10÷1=10(个)。所以参加夏令营的同学有 $3 \times 10 - 5 = 25$ (人)。

练习 6

【答案】 88 页。

【解析】田田的第一次看书计划到了还书日还有 8 页没有看, 第二次计划刚好看完, 第一次比第二次多看的 8 页被分配到每天多看: 11-10= 1(页)，田田从看书日到还书日一共有:8÷1= 8(天)，所以这本书有 $8 \times 11 = 88$ (页)。

练习 7

【答案】 60 件。

【解析】第二个计划比第一个计划少去邮局 4 趟，也就是说，如果衣服足够，可以再寄衣服:4 X10=40(件)。第二个计划会比第一个计划多寄衣服:40+10=50(件)。多寄的衣服是因为每次丁丁都多寄了:10-5=5(件)。所以，丁丁在开学前打算去邮局:50 ÷ 5 = 10 (次)。丁丁一共打算寄衣服 $5 \times 10 + 10 = 60$ (件)。

练习 8

【答案】85 支。

【解析】妈妈的第一个计划会剩下 10 支铅笔, 第二个计划则刚好用完铅笔, 第一个计划比第二个计划少用的 10 支铅笔是因为妈妈每次少给牛牛 17-15 = 2(支)铅笔，所以一个学期妈妈会给牛牛铅笔: $10 \div 2 = 5$ (次),这学期,妈妈为牛牛准备了铅笔: $5 \times 17 = 85$ (支)。

练习 9

【答案】 40 头。

【解析】第一种饲养计划会有 22 头小猪没人照顾, 第二种饲养计划会有 1 个饲养员分不到任务，1 个饲养员可以照顾 $5 + 3 = 8$ (头)小猪，所以第二种计划比第一种计划可以多照顾:22+8= 30(头)小猪，多出来的 30 头小猪是因为每个饲养员多照顾了 5 头小猪，所以这个养猪场一共有饲养员:30÷5=6(个)，养猪场新到的幼年猪一共有: $6 \times 3 + 22 = 40$ (头)。

练习 10

【答案】 14 个。

【解析】第一种分礼物的方法会有 12 个礼物被剩下,第二种分礼物的方法会少 2 个礼物, 第一种方法比第二种方法少分了: $12 + 2 = 14$ (个)礼物。这 14 个礼物被分给每个小朋友:3 $- 2 = 1$ (个) 礼物。所以可以计算出等待领礼物的小朋友一共有: $14 \div 1 = 14$ (个)。

练习 11

【答案】 75 人。

【解析】第一次的计划会有 7 名同学没有地方可以住；第二次的计划则多出来 2 个帐篷，相当于多出来 $2 \times 5 = 10$ (个)床位。第二次比第一次多出了 $7 + 10 = 17$ (个) 床位。这 17 个床位是因为每个帐篷多住了 $5 - 4 = 1$ (个) 同学,所以可以计算出共有帐篷: $17 \div 1 = 17$ (个),计算出参加夏令营的同学有: $17 \times 4 + 7 = 75$ (人)。

练习 12

【答案】 4 人。

【解析】队长的第一种分配方法会使最后有两件行李没人拿，第二种分配方式会使最后一个队员只拿了 5 件行李。如果行李数足够多，第二种分配方法比第一种分批方法可以多拿行李:15- $5 + 2 = 12$ (件)。多出的 12 件行李是因为每位队员多拿了行李:15-12=3(件)，所以这次探险的队员一共有 $12 \div 3 = 4$ (人)。

练习 13

【答案】 83 个。

【解析】条件“如果其中两个人各挖 3 个树坑, 其余每人挖 7 个树坑”可以转化为:如果每人挖 7 个树坑, 可以比原来需要的树坑多挖 (7- 3) $\times 2 = 8$ (个)。如果可以挖树坑的个数足够多，第一种计划比每人挖 7 个树坑的计划少挖树坑: $5 + 8 = 13$ (个)。少的 13 个树坑是因为每人少挖了 7-6=1 (个)树坑。所以参加植树的少先队员共有: $13 \div 1 = 13$ (人)。一共需要挖树坑: $13 \times 6 + 5 = 83$ (个)。

练习 14

【答案】 14 辆。

【解析】条件“如果每辆校车加 5 个座,会空出来一辆校车不用使用”可以转化为如果每辆校车坐 60 +5 = 65 (人), 校车上会有 65 个座位被空出来, 如果校车数量一定, 参加参观活动的学生人数足够多, 第二种坐车的方法比第一种坐车的方法可以多坐:5 + 65 = 70 (人), 多出来的人数是因为每辆车多坐了 5 个人。所以共有校车:70÷ 5=14(辆)。

练习 15

【答案】 114 本。

【解析】条件“如果其中有 2 个班分 7 本, 其余每个班分 10 本，恰好分完”可以转化为: 如果每个班分 10 本少儿读物,少书 $(10 - 7) \times 2 =$ 6(本)。如果少儿读物书的本数足够多，每个班分 10 本的分法比第一种分法可以多分出书: 6 + $18 = 24$ (本)。多分出去的书是因为每个班都多分了书: $10 - 8 = 2$ (本)。所以共有班 $24 \div 2 =$ 12(个)。学校一共买了少儿读物:12×8+18= 114(本)。

练习 16

【答案】66 根。

【解析】猴王的第二种分配方法, 可以转换为: 如果每只猴子分 7 根香蕉, 香蕉缺少 7-3 $= 4$ (根)。如果香蕉数量足够多,猴王的第二种分配方法比第一种分配方法多分出香蕉: 16 $+ 4 = 20$ (根)。多分出的香蕉是因为每只猴子多分了:7-5=2(根)。所以猴王一共有猴子: $20 \div 2 = 10$ (只)。猴王一共有香蕉: $10 \times 5 + 16 = 66$ (根)。

练习 17

【答案】井深 12 米，绳子长 30 米。

【解析】条件“将绳子对折放入井中，最后会有 3 米长度留在井外”可转化为:两折绳子，会多出绳子3×2=6(米)；条件“如果将绳子折 3 折来量，绳子一段在井口，另一端距井底还有 2 米”可转化为:三折绳子，会少: $2 \times 3 = 6$ (米)。根据“盈亏类型”的公式可以求出井深:(6 + 6)÷1= 12(米)，所以绳长: $12 \times 2 + 6 = 30$ (米)。

练习 18

【答案】1632 块。

【解析】如果正方形砖数量足够, 排出大正方形比小正方形多用砖: $49 + 32 = 81$ (块),大正方形的边长为 $(81 + 1) \div 2 = 41$ (块),小正方形的边长为 $41 - 1 = 40$ (块),所以这批砖原来有 $40 \times 40 + 32 = 1632$ (块)。

探索知识巅峰

【答案】 124 元。

【解析】本题属于包含两种物品的盈亏问题, 两种物品草莓蛋糕和奶油蛋糕的关系是存在 3 元的差价, 所以可以考虑将其中的一种物品转化为另一种物品, 乐乐老师买 1 个草莓蛋糕比买 1 个奶油蛋糕多花 3 元，则买 10 个草莓蛋糕比买 10 个奶油蛋糕多花: 10 × 3 = 30 (元)。将条件“乐乐老师带的钱如果买 10 个草莓蛋糕差 6 元”转化为:乐乐老师带的钱如果买 10 个奶油蛋糕能剩下 $30 - 6 = 24$ (元)。此时， $24 - 4 = 20$ (元) 是因为乐乐老师多买了 $12 - 10 = 2$ (个)奶油蛋糕，所以 1 个奶油蛋糕的价钱为 $20 \div 2 = 10$ (元)。乐乐老师今天带了: $10 \times 12 + 4 = 124$ (元)。

第 18 讲奇数与偶数进阶

练习 1

【答案】(1)奇数；(2)偶数。

【解析】(1)奇数 + 偶数 + 奇数十偶数 + 奇数 $=$ 奇数。(2)偶数一奇数 + 偶数一偶数一奇数一奇数 + 奇数 = 偶数。

练习 2

【答案】偶数。

【解析】 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 1460$ 中有 730 个奇数, 所以最后结果是偶数。

练习 3

【答案】偶数。

【解析】(500+501+502+…+598) 中有 49 个奇数，所以和是奇数；(366 + 367 + 368 + … + 403) 中有 19 个奇数,和也是奇数。所以总式 $=$ 奇数一奇数 $=$ 偶数。

练习 3

【答案】存在。这两个数分别是 100 和 60。

【解析】满足奇偶性规律,存在。大数 $= 1 (60) + 40) \div 2 = 100$ ,小数 $= (160 - 40) \div 2 = 60$ 。

练习 5

【答案】 6 个。

【解析】7 个自然数的和是偶数, 只有偶数个奇数相加的结果才是偶数, 所以最多只能有 6 个奇数。

练习 6

【答案】不可能。

【解析】每两棵相邻的苹果树结果数目相差 1 , 所以 16 棵苹果树里 8 棵结奇数个果子, 那么总数一定是偶数个，不可能结 567 个苹果。

练习 7

【答案】不可能。这 9 个数相加减结果一定是奇数。

【解析】在 1 到 9 这 9 个数中有 5 个奇数, 他们之间的和或差最终一定是奇数，所以式子不可能成立。

练习 8

【答案】奇数。

【解析】 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 \dots$ 这是一个奇奇偶奇奇偶······的数列，257÷3=85……2，所以第 257 个数是奇数。

练习 9

【答案】不可能。

【解析】这两个数的和十差 $= 9999 - 1000 =$ 8999 , 所以这两个数的和与差一个是奇数, 另一个是偶数。不可能存在这样的两个整数。

练习 10

【答案】(1)偶数；(2)偶数。

【解析】(1)多个数的乘积, 其间有偶数 54 , 所以积是偶数。(2)偶数 + 奇数 + 偶数 - 奇数 $=$ 偶数。

练习 11

【答案】奇数。

【解析】奇数 $\times$ 偶数 +偶数 $\times$ 偶数 +奇数 $\times$ 奇数 = 奇数，所以 $x$ 是奇数。

练习 12

【答案】87 和 82 是徒弟做的。

【解析】注意到所给出的 6 个数只有 87 为奇数，它肯定是徒弟制造的。原因是:师傅的产量是徒弟的 2 倍, 总数一定是偶数, 它是 4 个盒子中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和。徒弟的另一盒产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出，求出徒弟加工零件总数为: $(78 + 94 + 86 + 87 + 82 + 80) \div (2 + 1) = 169, 169 - 87 = 82$ 。

练习 13

【答案】不对。

【解析】等式左边是奇数,等式右边 $=$ 奇数 + 偶数一偶数十奇数 $=$ 偶数,明显不相符。所以他做得不对。

练习 14

【答案】不存在。

【解析】要使三个数的乘积是奇数，则三个数都是奇数,但是 $a - b, b - c, a - c$ 不可能都是奇数，所以不存在这样的三个自然数。

练习 15

【答案】东阅览室。

【解析】东阅览室的灯总数肯定是偶数, 所以西阅览室灯是奇数，推知西阅览室桌子数是奇数。所以东阅览室桌子数 $=$ 奇数一奇数 $=$ 偶数。

练习 16

【答案】奇数。

【解析】每个人的得分分为两种情况:答对奇数道题, 则基础分加奇数分减奇数分, 得分仍为奇数分。答对偶数道题, 则基础分加偶数分减偶数分，得分也为奇数分。所以所有人的总分 $= 1111 \times$ 奇数 = 奇数。

练习 17

【答案】可能实现, 需要四次。

【解析】第一次翻转有 3 个向下, 第二次翻转有 2 个向下, 第三次翻转有 1 个向下, 第四次翻转 4 个向下。即需要 4 次。

练习 18

【答案】偶数。

【解析】每一次通话都有两人计数，所以通话总次数为偶数。因此, 通话次数是奇数的同学的总数是偶数。

探索知识巅峰

【答案】因为新增的数一定是奇数, 所以不可能出现 2018。

【解析】黑板上的数一开始是一奇一偶, 按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数, 第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么 “奇 $\times$ 奇十奇十奇 = 奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现 2018。

第 19 讲字典排列法与树形图

练习 1

【答案】 4 种。

【解析】有 4 种不同的送法, 枚举如下: 姐姐 1 支红色钢笔，妹妹 2 支黑色钢笔；姐姐 1 支红色钢笔 1 支黑色钢笔, 妹妹 1 支黑色钢笔; 姐姐 1 支黑色钢笔, 妹妹 1 支红色钢笔 1 支黑色钢笔; 姐姐 2 支黑色钢笔, 妹妹 1 支红色钢笔。

练习 2

【答案】 6 种。

【解析】周一到周三可以依次选择蛋糕的口味:苹果、香蕉、葡萄；苹果、葡萄、香蕉；香蕉、苹果、葡萄；香蕉、葡萄、苹果；葡萄、苹果、香蕉；葡萄、香蕉、苹果。所以共有 6 种选择方案。

练习 3

【答案】 4 种。

【解析】牛牛不是第一名，所以第一名只可能是丁丁或田田。一、二、三名分别为:丁丁、牛牛、田田；丁丁、田田、牛牛；田田、丁丁、牛牛；田田、牛牛、丁丁。所以共有 4 种可能。

练习 4

【答案】 24 个。

【解析】1、2、3、4 都可以做最高位。最高位是 1 可以排成数字的树状图如下所示:

1 开头的四位数有 6 个，2 开头、3 开头、4 开头的四位数也各有 6 个, 所以, 共可以排出 24 个四位数。

练习 5

【答案】 27 个。

【解析】三位数的百位可以是 1、2、3 三种情况, 十位可以是 1、2、3 三种情况，个位可以是 1、2、3 三种情况，所以可以组成 $3 \times 3 \times 3 = 27$ (个)数。

练习 6

【答案】 12 个。

【解析】最高位是 1 可以排成数字的树状图:

1 开头的三位数有 4 个，2 开头、3 开头的三位数也各有 4 个, 所以共可以排出三位数

$4 \times 3 = 12$ (个)。

练习 7

【答案】 15 种。

【解析】按照拿起纸币的张数来分类。拿起 1 张纸币的可能情况:1 角，5 角，1 元，5 元。 4 种情况。拿起 2 张纸币的可能情况:6 角，1 元 1 角, 5 元 1 角, 1 元 5 角, 5 元 5 角, 6 元。6 种情况。拿起 3 张纸币的可能情况:1 元 6 角，5 元 6 角, 6 元 5 角, 6 元 1 角。4 种情况。拿起 4 张纸币的可能情况: 6 元 6 角。1 种情况。所以,有 $4 + 6 + 4 + 1 = 15$ (种) 可能。

练习 8

【答案】 6 种。

【解析】按照田田买大橡皮的块数来分类。

买了 0 块大橡皮时，买小橡皮 5 块，共用 5 元钱;

买了 1 块大橡皮时，买小橡皮 4 块，共用 6 元钱;

买了 2 块大橡皮时, 买小橡皮 3 块, 共用 7 元钱;

买了 3 块大橡皮时, 买小橡皮 2 块, 共用 8 元钱;

买了 4 块大橡皮时, 买小橡皮 1 块, 共用 9 元钱;

买了 5 块大橡皮时，买小橡皮 0 块，共用 10 元钱。所以可能花的钱数有 6 种情况。

练习 9

【答案】 1 元 8 枚，5 角 4 枚。

【解析】列举出 12 枚硬币可能的钱数: 满足 10 元的情况为 1 元 8 枚，5 角 4 枚。

1 元硬币	9	8	7	6
5 角硬币	3	4	5	6
总钱数	10 元 5 角	10 元	9 元 5 角	9 元

练习 10

【答案】6 种。

【解析】根据丁丁分得巧克力的块数分类讨论:

姓名	分得巧克力的数量
丁丁	2	2	2	3	3	4
牛牛	2	4	3	2	3	2
田田	4	2	3	3	2	2

所以，有 6 种分法。

练习 11

【答案】 7 种。

【解析】分堆的问题相当于将数拆分, 注意拆分为 1、2、3 和 3、2、1 算同一种情况。本题是将 12 拆分，拆成大于等于 2 的三个数，从小到大枚举讨论。注意本题在拆数时不能重复，所以在这里规定后面的数一定大于或等于前面的数。例如，第一个数是 2 , 第二个数 $\geq 2$ ,第三个数数。具体情况可以拆分如下:228，237，246，255， 336,345,444。所以共有 7 种分法。

练习 12

【答案】 5 种, 面积最大的长方形长宽都为 5 厘米。【解析】长方形的周长是 20 厘米，所以长与宽的和为 $20 \div 2 = 10$ (厘米)，长方形的长宽可能情况如下:

长/cm	1	2	3	4	5
宽/cm	9	8	7	6	5
面积 $/{\mathrm{{cm}}}^{2}$	9	16	21	24	25

所以长方形有 5 种可能情况，面积最大的长方形的长宽都为 5 厘米。

练习 13

【答案】 6 个。

【解析】方法一:枚举法

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

3 的倍数从小到大有: $1 \times 3 = 3, 2 \times 3 = 6, 3 \times 3 = 9, 4 \times 3 = 12, 5 \times 3 = 15, 6 \times 3 = 18, 7 \times 3 = 21$ 。

$21 > 20$ ,所以 $0 \sim 20$ 之间有 6 个数是 3 的倍数。

方法二: $20 \div 3 = 6 \dots\dots 2$ ，所以 0 ~ 20 之间有 6 个数是 3 的倍数。

练习 14

【答案】 6 个。

【解析】既是 3 的倍数又是 5 的倍数的数一定是 $3 \times 5 = 15$ 的倍数。100÷15=6……10，所以 0~100 之间有 6 个数既是 3 的倍数又是 5 的倍数。

练习 15

【答案】41 个。

【解析】列举 8 的倍数: $8, 16, 24, \dots$

列举 12 的倍数: $12, 24, \dots$

所以一个数如果是 24 的倍数, 就一定既是 8 的倍数又是 12 的倍数。 $1000 \div 24 = 41 \dots\dots 16$ ,所以 0 ～ 1000 之间有 41 个数既是 8 的倍数又是 12 的倍数。

练习 16

【答案】6 种。

【解析】画树形图表示所有可能的情况:

所以，共有 6 种不同的排队方式。

练习 17

【答案】 6 种。

【解析】画树形图表示所有可能的情况:

所以共有 6 种不同的传球方式。

练习 18

【答案】 6 种。

【解析】一局开始第一个传球的人可能是丁丁、牛牛、田田，列举所有可能的情况:

丁丁→牛牛→田田→丁丁

丁丁→田田→牛牛→丁丁

牛牛→丁丁→田田→牛牛

牛牛→田田→丁丁→牛牛

田田→牛牛→丁丁→田田

田田→丁丁→牛牛→田田

所以，共有 6 种不同的传球方式。

探索知识巅峰

【答案】 20 个。

【解析】按照百位数字的不同来分类:

百位为1:111 ;

百位为2:212、221；

百位为3:313、331；

百位为 4:414、441、422；

百位为 5:515、551；

百位为6:616、661、623、632；

百位为7:717、771;

百位为8:818、881、824、842;

百位为9:919、991、933(大于 900)。

所以 100 到 900 之间的整数中有 20 个数能满足个位上的数与十位上的数乘积等于百位上的数。

第 20 讲等式代换

练习 1

【答案】 135 克。

【解析】两个梨重 60 克, 则一个梨重 30 克, 一个苹果重 $30 \times 3 \div 2 = 45$ (克),一个柿子重 45 $\times 3 = 135$ (克)。

练习 2

【答案】 6 个。

【解析】1梨 $= 3$ 桃,所以 1 苹果 $= 2$ 梨 $= 2 \times 3$ 桃=6 桃。

练习 3

【答案】 24 只。

【解析】一只小羊 $= 4$ 只小狗 $= 4 \times 3$ 只白兔 $= 4 \times 3 \times 2$ 只小鸡=24 只小鸡。

练习 4

【答案】1350 元。

【解析】每个排球价钱: $75 \times 2 \div 3 = 50$ (元),总共需要: $15 \times 50 + 8 \times 75 = 1350$ (元)。

练习 5

【答案】 50 千克。

【解析】因为 1 袋大米重量和 2 袋面粉重量相等，所以牛牛妈相当于买了 $4 + 8 \div 2 = 8$ (袋)大米。所以每袋大米重 $400 \div 8 = 50$ (千克)。

练习 6

【答案】小水泵每小时抽水 30 立方米, 大水泵每小时抽水 50 立方米。

【解析】相当于小水泵抽 $6 + (9 \div 3 \times 5) = 21$ (小时) 抽了 630 立方米的水, 所以小水泵每小时抽 $630 \div 21 = 30$ (立方米)，大水泵每小时 $30 \times 5 \div 3 = 50$ (立方米)。

练习 7

【答案】种了花生 300 棵, 白薯 20 棵。

【解析】把种的花生看作 15 份白薯, 则种的花生比白薯多 15-1=14(份)，所以种的白薯棵数为 $280 \div 14 = 20$ (棵),花生棵数为 $15 \times 20 =$ 300(棵)。

练习 8

【答案】 $□ = 12, ○ = 60$ 。

【解析】已知○＝□＋□＋□＋□＋□，所以○ $- □ = □ + □ + □ + □ = 48$ 。所以 $□ = 12, ○ = 5 \times 12 = 60$ 。

练习 9

【答案】 14 棵。

【解析】差的 56 相当于 (5-1) 份的梨树数目, 所以梨树数 $= 56 \div (5 - 1) = 14$ (棵)。

练习 10

【答案】 90 个。

【解析】一个鹅蛋能换 $9 \div 3 = 3$ (个)鸡蛋，一个鸡蛋能换 $12 \div 2 = 6$ (个)鹌鹑蛋，所以 5 个鹅蛋能换 $5 \times 3 \times 6 = 90$ (个) 鹌鹑蛋。

练习 11

【答案】96 个。

【解析】可知 1 个香瓜可换 $16 \div 4 = 4$ (个) 桃子, 1 个西瓜可换 15 ÷ 5=3 (个)香瓜，所以 8 个西瓜可以换 $8 \times 3 \times 4 = 96$ (个)桃子。

练习 12

【答案】 150 只。

【解析】价钱关系有: 1 头牛 $= 9 \div 3 = 3$ (只) 羊, 1只羊 $= 10 \div 2 = 5$ (只)鸡,1 只鸡 $= 6 \div 3 = 2$ (只) 白兔。所以 5 头牛的价钱 $= 5 \times 3 \times 5 \times 2 = 150$ (只) 白兔的价钱。

练习 13

【答案】 $a = 10, b = 20, c = 15$ 。

【解析】 $2 a + 2 b + 2 c = 30 + 35 + 25 = 90, a + b + c = 90 \div 2 = 45$ ,所以 $a = 45 - 35 = 10, b = 45 - 25 = 20, c = 45 - 30 = 15$ 。

练习 14

【答案】香蕉 1 箱重 80 千克，苹果 1 箱重 60 千克，橘子 1 箱重 40 千克。

【解析】所有加起来除以 2 即是三种水果重量的和， $(100 + 120 + 140) \div 2 = 180$ (千克),所以香蕉 1 箱重 180 - 100 = 80 (千克), 苹果 1 箱重 180 $- 120 = 60$ (千克),橘子 1 箱重 $180 - 140 = 40$ (千克)。

练习 15

【答案】 4 千克。

【解析】观察可知 $A$ 兔 $+ B$ 兔 $+ C$ 兔 $+ D$ 兔 $= (7 + 8 + 10 + 11) \div 3 = 12$ (千克),所以 $A$ 兔 $= 12 - 8 = 4$ (千克)。

练习 16

【答案】 5 个。

【解析】 2 个梨 $= 4$ 个桃,所以 1 个梨 $= 2$ 个桃。因为 1 个柚子 +1 个梨 = 7 个桃, 所以 1 个柚子=7 个桃- 1 个梨 = 7 个桃- 2 个桃 = 5 个桃。

练习 17

【答案】 $○ = 4$ 。

【解析】把 $□ = ○ + ○ + ○ + ○$ 代入 $○ + 8 = (□ - 10) \times 2$ 得: $○ + 8 = (4 \times ○ - 10) \times 2$ ,得 $○ = 28 \div 7 = 4$ 。

练习 18

【答案】 16 个。

【解析】从后面往前面将数字代入,可知牛牛有 $2 + 2 = 4$ (个)，丁丁有 $4 + 4 + 4 = 12$ (个)，一共 $12 + 4 = 16$ (个)。

探索知识巅峰

【答案】小周每小时的工作量是 32 个，刘师傅每小时的工作量是 64 个，小李每小时的工作量是 24 个。

【解析】将工作都代换成小周做的,那就变成小周做了 $(8 \div 2 \times 4) + 12 + (16 \div 4 \times 3) = 40$ (个) 小时后加工了 1280 个零件, 所以小周每小时的工作量是 $1280 \div 40 = 32$ (个),刘师傅每小时的工作量是 $32 \times 4 \div 2 = 64$ (个),小李每小时的工作量是 $32 \times 3 \div 4 = 24$ (个)。

教学知识库

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21、参考答案

参考答案

创参考答案

ANSWERS

第1讲 找规律综合

练习 1

练习 2

练习 3

练习 4

练习 5

练习 6

练习 7

练习 8

练习 9

练习 10

练习 11

练习 12

练习 13

练习 14

练习 15

练习 16

练习 17

练习 18

探索知识巅峰

第2讲 巧算加减法综合

练习 1

练习 2

练习 3

练习 4

练习 5

练习 6

练习 7

练习 9

练习 10

练习 13

练习 14

练习 15

练习 16

练习 17

探索知识巅峰

第3讲 加减法竖式数字迷进阶

练习 2

练习 3

练习 4

练习 5

练习 6

练习 7

练习 8

练习 9

练习 10

练习 11

练习 12

练习 13

练习 14

练习 15

练习 16

练习 18

探索知识巅峰

第4讲 突破乘法竖式

练习 1

练习 2

练习 3

练习 4

练习 5

练习 6

练习 7

练习 8

练习 9

练习 10

练习 11

练习 12

练习 13

练习 14

练习 15

练习 16

练习 17

练习 18

探索知识巅峰

第1讲找规律综合

第2讲巧算加减法综合

第3讲加减法竖式数字迷进阶

第4讲突破乘法竖式

第 5 讲突破除法竖式

第 6 讲巧求周长进阶

第7讲平均数进步

学而思秘籍小学数学思维培养 5 级

第8讲归一问题