字典排列法与树形图

知识导引

1. 简单的字典排列法和树形图;

2. 有序的分类思想。

知识点梳理

一、确定可能性的方法

1. 枚举法: 使用各种枚举法需要注意有条理、不重复、 不遗漏，使人一目了然。

2. 字典排列法:从首位开始，按一定的顺序(比如从小到大)枚举第一位，对于每种情况再按一定的顺序枚举第二位，以此类推。

注意:运用字典排列法一定要能分辨”有次序”和”无次序”的情形。

3. 树形图:树形图法，又叫”枚举树”，是借助树状结构的分层特征来列举出所有可能情况的方法。

二、利用枚举树进行枚举的一般步骤和技巧

1. 明确条件;

2. 明确范围;

3. 明确秩序;

4. 逐一枚举。

好方法 1

枚举法的应用(1)

有条理、不重复、不遗漏

典题精讲

例 1

乐乐老师打算把苹果、梨、香蕉分给丁丁和牛牛，每人至少分到一样水果, 有多少种不同的分法?

【解析】

将苹果和梨分给丁丁、香蕉分给牛牛；将苹果和香蕉分给丁丁、梨分给牛牛；将梨和香蕉分给丁丁、苹果分给牛牛；将香蕉分给丁丁，苹果和梨分给牛牛；将梨分给丁丁、苹果和香蕉分给牛牛；将苹果分给丁丁， 梨和香蕉分给牛牛。所有，共有 6 种分法。

举一反三

练习 1

妈妈买了 1 红 2 黑的 3 支钢笔分别送给姐姐和妹妹，1 人最少拿到 1 支, 问有多少种不同的送法?

练习 2

超市推出苹果、香蕉、葡萄三款新蛋糕，田田决定周一到周三每天去品尝一种，她有多少种选择方案？

挑战自我

练习 3

心算大赛结束了，乐乐老师班里的牛牛、丁丁、田田都取得了奖项。 已知三人分别是小学生心算大赛的一、二、三名，现在只知道牛牛不是第一名，那么有多少种可能呢?

好方法 2

枚举法的应用(2)

画树形图枚举

典题精讲

例 2

现在有数学卡片 0,1,2,3 各一张，可以排成多少个不同的四位数?

【解析】

最高位是 1 可以排成数字的树形图:

1 开头的四位数有 6 个，2 开头、3 开头的四位数也各有 6 个，所以，共可以排成 18 个四位数。

举一反三

练习 4

现在有数学卡片 1,2,3,4 各一张, 可以排成多少个不同的四位数?

练习 5

有 1、2、3 三种数字卡，每种的数量都足够多，可以组成多少个不同的三位数?

挑战自我

练习 6

阿普一边等乐乐老师公布心算大赛的结果，一边做卡片游戏:有 1、2、 3 三种数字卡, 每种的数量都足够多, 现在要组成三位数, 要求相邻的两个数字不能相同，可以组成多少个这样的三位数？

好方法 3

枚举法的应用(3)

分类枚举

典题精讲

例 3

一本《儿童故事》的定价是 50 元，如果丁丁有足够多的 5 元和 10 元，他会有多少种不同的付钱方法？

【解析】

丁丁用 0 张 10 元，则需要用 10 张 5 元；用 1 张 10 元，则需要用 8 张 5 元; 用 2 张 10 元, 则需要用 6 张 5 元; 用 3 张 10 元，则需要用 4 张 5 元；用 4 张 10 元，则需要用 2 张 5 元；用 5 张 10 元，则需要用 0 张 5 元。 所以，共有 6 种付钱方法。

举一反三

练习 7

这里有 1 角、 5 角、 1 元、 5 元四张纸币，小朋友可以随意拿起几张纸币组合出总钱数，请问总钱数有多少种可能？

练习 8

田田去文具店买橡皮，看到小橡皮 1 元，大橡皮 2 元，她一共买了 5 块橡皮，所花的钱数有几种情况?

挑战自我

练习 9

获奖的丁丁和牛牛都非常高兴，两人决定出去庆祝一下，便纷纷拿出自己的零花钱。他们现在一共有 12 枚硬币, 总值是 10 元, 只知道里面只有 5 角和 1 元的硬币, 你知道每种硬币各有多少枚吗?

好方法 4

枚举法的应用(4)

列表格枚举

典题精讲

例 4

乐乐老师一共有 5 块巧克力，打算分给丁丁、牛牛、田田三个小朋友, 每人最少分 1 块, 有多少种不同的分法?

【解析】

根据丁丁分得巧克力的块数分类讨论:

所以，有 6 种分法。

举一反三

练习 10

乐乐老师一共有 8 块巧克力，打算分给丁丁、牛牛、田田三个小朋友， 每人最少分 2 块, 有多少种不同的分法?

练习 11

12 个苹果随意分成 3 堆, 每堆最少有 2 个, 可以有多少种分法?

挑战自我

练习 12

丁丁和牛牛来到游乐园，看到很多小朋友都在参加一个智力游戏，便凑上去看:已知一个长方形的周长是 20 厘米，它的长和宽都是整数，请问: 这个长方形有多少种可能的情况(旋转后得到的图形算一种情况)，其中哪个长方形的面积最大?

好方法 5

枚举法的应用(5)

计算 0 到段首中某数倍数的个数: 段首数 ÷ 这个数 = 商……余数

典题精讲

例 5

在 10~100 之间有多少个数是 3 的倍数?

【解析】

$10÷3=3\cdots \cdots 1$ ,所以 $0\sim 10$ 之间有 3 个数是 3 的倍数; $100÷3=33$ …1,所以 $0\sim 100$ 之间有 33 个数是 3 的倍数。因此，10~100 之间 3 的倍数有 $33-3=30$ (个)。

举一反三

练习 13

在 $0\sim 20$ 之间有多少个数是 3 的倍数?

练习 14

在 $0\sim 100$ 之间有多少个数既是 3 的倍数又是 5 的倍数?

挑战自我

练习 15

第二天上课的时候，牛牛悄悄告诉阿普，心算大赛本来自己可以拿冠军的，只是太粗心了。阿普说，牛牛你平时要多练习呀，这样吧，我来给你出道题练练:在 0~1000 之间有多少个数既是 8 的倍数又是 12 的倍数?

好方法 6

枚举法的应用(6)

从起点出发，用树形图列举所有可能的情况

典题精讲

例 6

乐乐老师带着丁丁、牛牛玩传球的游戏，从乐乐老师开始，每个人都可以将球传给其他人, 球被传递四次之后又回到了乐乐老师手中, 有多少种不同的传球可能呢?

【解析】

画树形图表示所有可能的情况:

所以，共有 6 种不同的传球可能。

举一反三

练习 16

乐乐老师、丁丁、牛牛、田田、阿普五个人站成一排，已知阿普站在第一个位置，乐乐老师站在最后一个位置，有多少种不同的排队方式？

练习 17

乐乐老师带着丁丁、牛牛、田田玩传球的小游戏，每个人拿到球后都只能把球传给不是给自己球的其他人, 例如丁丁把球给了田田, 田田就只能将球传给牛牛或者乐乐老师。游戏从乐乐老师开始，球被传递四次之后又回到了乐乐老师手中，有多少种不同的传球方式呢?

挑战自我

练习 18

课间休息的时候，阿普为丁丁、牛牛、田田重新发明了一种传球游戏， 三个人相互传球，传球三次为一局，一局中的第二次必须将球传给本局中没有传过球的人，第三次传球必须将球传给本局第一次传球的人。请计算一局游戏中可能出现多少种传球顺序。

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