奇数与偶数进阶

知识导引

1. 奇数与偶数的运算规律;

2. 解决简单的实际问题。

知识点梳理

一、奇偶性加减法性质

奇数士奇数 =偶数;

偶数士偶数=偶数;

偶数士奇数 =奇数。

二、奇偶性加减性质的推论

推论 1: 奇数个奇数的和为奇数, 偶数个奇数的和为偶数。

推论 2: 加减号互相替换不影响结果的奇偶性。

总结:奇数个奇数相加减,结果为奇数,其余为偶数。

三、奇偶性乘法的性质

奇数 $\times$ 奇数 = 奇数;

奇数 $\times$ 偶数=偶数;

偶数 $\times$ 偶数=偶数。

四、奇偶性乘法性质的推论

推论 1: 做乘法时, 见偶得偶。

推论 2: 做乘法时, 全奇得奇。

好方法 1

奇偶性加减法性质(1)

① 奇数 $\pm$ 奇数 =偶数

②偶数 $\pm$ 偶数 $=$ 偶数

③偶数士奇数=奇数

典题精讲

例 1

不计算，判断下列各式结果的奇偶性。

(1)37 +65 (2)36 +66 (3)333 +54

(4)145-33 (5)166-38 (6)97-68

【解析】

(1)奇数 + 奇数 $=$ 偶数; (2)偶数十偶数 $=$ 偶数；

(3)奇数十偶数 = 奇数; (4)奇数 - 奇数 = 偶数;

(5)偶数 一偶数 = 偶数； (6)奇数 一偶数 = 奇数。

举一反三

练习 1

不计算，判断下列各式结果的奇偶性。

(1)5673+384+333+356+233

(2)6252-1035+3566-2334+5688-1333-579+677

练习 2

1+2+3+4+…+1460 的结果是奇数还是偶数?

挑战自我

练习 3

几位小朋友假期一起去奇偶世界做交流生。在路上的时候，牛牛看到了一个这样的算式: (500+501+502+503+…+598) - (366+367+ 368+…+403)。这个算式的结果是奇数还是偶数？

好方法 2

奇偶性加减法性质的应用

根据两个数的和、差判断这两个数的奇偶性

典题精讲

例 2

请找出两个整数使他们的和是 231 , 差是 32 , 这样的两个数是否存在？若存在，请写出这两个数；若不存在，请说明理由。

【解析】

两个数的和为奇数，说明它们应是一奇一偶；差是偶数，说明两个数是同奇或同偶。两个结论矛盾，因此这样的两个数不存在。

举一反三

练习 4

请找出两个整数使他们的和是 160 , 差是 40 , 这样的两个数是否存在? 若存在, 请写出这两个数; 若不存在, 请说明理由。

练习 5

7 个自然数相加等于 10000 , 这些数中最多有多少个奇数?

挑战自我

练习 6

在他们学习的学校旁边有一条小溪，沿着岸边种着 16 棵苹果树，每两棵相邻的苹果树结的苹果数目差 1 。这些苹果树结的苹果总数可能是 567 吗?

好方法 3

奇偶性加减法性质 ( 2 )

奇数个奇数的和为奇数, 偶数个奇数的和为偶数

典题精讲

例 3

一本书共有 256 页，从中任意找出 5 张纸，这 5 张纸上的所有页码之和能等于 132 吗?

【解析】

每张纸上的两个页码一定是一奇一偶, 5 张纸上的页码有 5 个奇数，总和一定是奇数，所以不可能是 132 。

举一反三

练习 7

请在下面的式子中填入 “十”或者”一”，使得结果是 6，可能吗？ 为什么?

$987\begin{array}{llllll}6& 5& 4& 3& 2& 1\end{array}=6$

练习 8

有这么一个数列: $1,1,2,\cdots$ ,从第三个数起,每一个数都是它前面相邻两个数之和。问:在这一列数中，第 257 个数是奇数还是偶数？

挑战自我

练习 9

偶偶国的数学老师给丁丁出了一道难题:请找出两个整数，这两个数的和加上这两个数的差，再加上 1000 等于 9999 。如果存在，写出这两个数；如果不存在，请说明理由。

好方法 4

奇偶性乘法性质

① 奇数 $\times$ 奇数 = 奇数

② 奇数 $\times$ 偶数 $=$ 偶数

③偶数 $\times$ 偶数 $=$ 偶数

典题精讲

例 4

不要计算，判断下列各式结果的奇偶性。

(1)13×35 (2)24×36 (3)14×23

【解析】

(1)奇数 $\times$ 奇数=奇数；(2)偶数 $\times$ 偶数=偶数；(3)偶数、奇数= 偶数。

举一反三

练习 10

不计算，判断下列各式结果的奇偶性。

(1)23×27×39×45×54×49×33

(2) $31\times 26\times 13+53\times 35+666\times 577-3\times 5\times 987$

练习 11

$35197\times 28460+8938576\times 1987566+3837629\times 56374893=x$ ,那么 $x$ 是奇数还是偶数?

挑战自我

练习 12

周末，丁丁和几位小伙伴到”奇奇工厂”参观，看见了这样一个场景: 师傅与徒弟加工同一种零件，两人把产品放在自己的盒子里，师傅的产量是徒弟的 2 倍, 师傅的产品放在 4 个盒子中, 徒弟的产品放在 2 个盒子中, 每个盒子都标明了产品的个数:78,94,86,87,82,80。根据上面的条件， 你能找出哪两盒的产品是徒弟加工的吗?

好方法 5

奇偶性乘法性质的推论

做乘法时, 见偶得偶, 全奇得奇

典题精讲

例 5

已知 $a,b,c$ 是三个连续的自然数，其中 $c$ 是偶数。田田说:“那么 $a+1,b+2,c+3$ 这三个数的乘积一定是奇数。“丁丁说:“不对， $a+1$ ， $b+2,c+3$ 这三个数的乘积一定是偶数。“他们谁说得对呢?

【解析】

$c$ 是偶数，所以 $a$ 是偶数， $b$ 是奇数， $a+1$ 是奇数， $b+2$ 是奇数， $c+$ 3 是奇数。三个奇数相乘得奇数。所以田田说得对。

举一反三

练习 13

牛牛在做题的时候写出了这样一个算式: $2751=53\times 21+42\times 39$ 一 36+35, 他做得对吗?

练习 14

是否存在自然数 $a,b,c$ ,使得 $\left(a-b\right)\times \left(b-c\right)\times \left(a-c\right)=65339$ ?

挑战自我

练习 15

田田发现学校的图书馆有一个奇怪的现象:二层的阅览室分东西两个阅览室，东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯，西阅览室里每张桌子上有 3 盏灯。好奇的田田数了一下，发现总的桌子数和灯数都是奇数。问:哪个阅览室的桌子数是偶数?

好方法 6

奇偶性乘法性质的应用

做乘法时, 见偶得偶, 全奇得奇

典题精讲

例 6

桌子上有 7 张正面向下的扑克牌, 丁丁每次会把 6 张牌翻转。为了使扑克牌都正面向上，丁丁需要翻转几次？能实现吗？

【解析】

使一张牌向上需要奇数次, 所以使 7 张牌都向上也需要奇数次。但是每次翻转 6 张，翻转的牌数 ✗ 次数一定是偶数，所以不可能实现。

举一反三

练习 16

明光市小学生参加数学竞赛，题目共 20 道。评分标准是:基础分 25 分，答对一道加 5 分，答错一道减 1 分，不答算错。如果有 1111 名同学参赛，则所有参赛同学得分总数一定是奇数还是偶数? 请说明理由。

练习 17

牛牛想要使桌面上 4 个向上的碗都变成向下, 他每次翻转 3 个碗, 需要几次才能将所有的碗都翻转向下? 可能实现吗?

挑战自我

练习 18

经过了一段时间的学习，小朋友们都要回去了。最后一节数学课上， 老师给他们留了一道题, 让他们回去思考: 暑假期间, 三年级(1)班的同学互相打电话聊天，如果两人每通一次电话，每人都计通话一次。通话次数是奇数次的那些人的总数是奇数还是偶数?

探索知识巅峰

在黑板上写上 2 和 3，然后按照下列规则增写新数:若黑板有两个数 $a$ 和 $b$ ,则增写 $a\times b+a+b$ 这个数,比如可增写 11 (因为 $2\times 3+2+3=$ 11)，增写 35(因为 $2\times 11+2+11=35$ )，一直写下去，问:能否得到 2018？ 若不能，请说明理由; 若能，则说出最少需要写几次得到。