鸡兔同笼进阶

知识导引

1. 假设法;

2. 分组法。

知识点梳理

一、鸡兔同笼问题类型

2. 头倍脚和型，对应例题:例题 2 。

3. 头和脚倍型，对应例题:例题 3 。

4. 得失相关型，对应例题:例题 4 。

5. 鸡兔互换型, 对应例题: 例题 5 。

6. 多种动物型，对应例题: 例题 6 。

二、方法

1. 假设法,对应例题: 例题 1,例题 4,例题 5,例题 6 。

2. 砍脚法,对应例题: 例题 1 。

3. 分组法,对应例题: 例题 2,例题 3 。

好方法 1

头和脚和型

①假设法

② 砍脚法

典题精讲

例 1

牛牛家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，牛牛数了数，它们共有 35 个头, 94 只脚。问: 牛牛家养的鸡和兔各有多少只?

【解析】

方法一:假设法。假设 35 只动物都是兔子，那么共有脚 $4\times 35=$ 140(只)，比 94 只脚多了 140 - 94 = 46(只)。每只鸡比兔子少 4-2 = 2 (只)脚，那么共有鸡 46÷2=23(只)，兔子的只数 35÷23=12(只)。

或假设 35 只动物都是鸡,那么共有脚 $2\times 35=70$ (只),比 94 只脚少了94-70=24 (只) 脚，每只鸡比兔子少 4-2=2 (只) 脚，那么共有兔子 $24÷2=12$ (只),鸡的只数 $35-12=23$ (只)。

方法二:砍脚法。我们首先砍去每只鸡、每只兔的两只脚，这样每只鸡就没有脚了，每只兔子就剩下了两只脚，脚的总数也就变成了 94- $35\times 2=24$ (只)，那么这 24 只脚都是砍掉两只脚后的兔子的脚，所以兔子的只数就是 $24÷2=12$ (只)，鸡的只数就是 $35-12=23$ (只)。

举一反三

练习 1

鸡兔共有 45 只，关在同一个笼子中。每只鸡有 2 只脚，每只兔子有 4 只脚，笼中共有 100 只脚。试计算，笼中鸡有多少只？兔子有多少只？

练习 2

在一个停车场上，现有车辆 41 辆，其中汽车有 4 个轮子，三轮车有 3 个轮子，这些车共有 127 个轮子。问:汽车有多少辆? 三轮车有多少辆?

挑战自我

练习 3

乐乐老师带着三年级两个班去野外度假。乐乐老师先给同学们分水果。一班每人分得 2 个苹果和 5 个橘子, 二班每人分得 2 个苹果和 3 个橘子，乐乐老师一共分出了 80 个苹果和 158 个橘子。请问:二班有多少个同学?

好方法 2

头倍脚和型

分组法

典题精讲

例 2

丁丁数了数笼中的鸡和兔, 发现腿有 120 条, 鸡的只数比兔的只数的 3 倍多 5 只。则鸡和兔子共有多少只?

【解析】

如果鸡减少 5 只，就变成了兔的 3 倍，减少腿数为 $2\times 5=10$ (条)。 现在有腿 120-10=110(条)。根据鸡的只数是兔只数的 3 倍，可以把 1 只兔和 3 只鸡分为一组,则刚好可以分为完整的若干组,每组有 $1\times 4+$

$3\times 2=10$ (条)腿。则 110 条腿可以分为 110÷10=11 (组)。所以兔的只数为: $11\times 1=11$ (只),鸡的只数为 $11\times 3+5=38$ (只)。鸡和兔的总数为: $11+38=49$ (只)。

举一反三

练习 4

田田数了数笼中的鸡和兔，发现共有脚 240 只，兔的只数与鸡的只数相同。则鸡和兔共有多少只?

练习 5

动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚 208 只。鸵鸟比梅花鹿多 20 只, 问: 梅花鹿有多少只?

挑战自我

练习 6

乐乐老师先带大家去了野生动物园。看到一个笼子里关着鸡和兔， 牛牛想给丁丁出个难题，说:“丁丁，我知道兔比鸡的 3 倍少 6 只，而且鸡和兔一共有 116 条腿。那么鸡和兔各有多少只呢?”这个题目能难倒丁丁吗?

好方法 3

头和脚倍型

分组法

典题精讲

例 3

牛牛数了数笼中的鸡和兔, 发现头有 98 个, 鸡的脚数比兔的脚数的 2 倍少 4 只。则兔子有多少只? 鸡有多少只?

【解析】

如果鸡脚增加 4 只,则是兔脚的 2 倍,这时有头数 $98+4÷2=100$ (个)。1 只鸡有 2 只脚，1 只兔有 4 只脚，根据鸡脚数是兔脚数的 2 倍， 可以将 1 只兔与 4 只鸡分为一组,一组共有动物 $1+4=5$ (只),则 100

只动物里有 $100÷5=20$ (组),所以兔有 $20\times 1=20$ (只),鸡有 $20\times 4-2=78$ (只)。

举一反三

练习 7

牛牛数笼中的鸡和兔，头有 90 个，鸡的腿数与兔的腿数相同。鸡有多少只?

练习 8

新华书店一天内卖出了《哈利波特》和《魔戒》共 40 本，其中《哈利波特》每本 30 元，《魔戒》每本 25 元。经过统计，卖《哈利波特》的收入比《魔戒》多 650 元，问:这天卖出多少本《哈利波特》？

挑战自我

练习 9

晚上乐乐老师给大家安排住宿。宿舍楼的大、小房间一共有 20 间，已知大房间每间住了 6 人，小房间每间住了 4 人，并且大房间的总人数比小房间的总人数多 30 人。请问:大、小房间各有多少间？

好方法 4

得失相关型

假设法

典题精讲

例 4

阿普去参加奥运知识抢答竞赛，按规定每答对一题得 5 分，答错一题要扣 1 分。阿普抢答 10 道题后，共得到 26 分，请问:阿普答对了几道题？

【解析】

假设阿普全答对，应得 $10\times 5=50$ (分)，实际得了 26 分，少了 50 — $26=24$ (分)，是因为把错题假设成了对题，每道题多算了 $5+1=6$ (分)， 所以错题有 $24÷6=4$ (道),答对了 $10-4=6$ (道)。

举一反三

练习 10

工人运青瓷花瓶 250 个，规定完整运到目的地一个给运费 20 元，损坏一个赔 100 元。运完这批花瓶后，工人共得 4400 元，则损坏了多少个?

练习 11

丁丁、牛牛两人进行射击比赛，约定每中一发得 20 分，脱靶一发扣 12 分，两人各打 10 发，共得 208 分，最后丁丁比牛牛多得 64 分。问:牛牛打中多少发?

挑战自我

练习 12

第二天上午的活动是参加数学竞赛，共 10 道题，答对一道题得 10 分， 不答或答错一道题扣 3 分。经过大家的推荐，选出 3 名同学作为各组的代表，他们都回答了所有的题，田田得了 87 分，阿普得了 74 分，牛牛得了 9 分。他们三人一共答对了多少道题?

好方法 5

鸡兔互换型

假设法

典题精讲

例 5

鸡兔同笼，鸡和兔共有 46 条腿。如果将鸡与兔的数量互换，那么总腿数变为 38 条, 请问:原来鸡和兔各有多少只?

【解析】

由于 $46+38=84$ (条),每只动物被计算了 2 次,84条腿对应鸡和兔只数相同，1 只鸡和 1 只兔共有 4 +2=6 (条)腿，说明总共有:84÷6=14 (只)动物。假设全为鸡，共有: $14\times 2=28$ (条)腿，少了 $46-28=18$ (条), 这主要是因为每只兔子少算了 4-2=2 (条) 腿,所以兔子共有: $18÷2=$ 9(只)，鸡有:14-9=5(只)。

举一反三

练习 13

田田数笼中的鸡和兔，共有脚96只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则还有 96 只脚。鸡、兔原来各有多少只?

练习 14

某杂志每期定价 5 元，全年共出 12 期。某班一些学生订半年，其余学生订全年，共需订费 900 元；如果订半年的改订全年，而订全年的改订半年，那么共需订费 990 元。问:这个班共有多少名学生？

挑战自我

练习 15

下午是自由活动。阿普和牛牛到处闲逛，发现前面聚集了好多小动物，他们在嚷嚷着亏了赚了，他俩过去看了看，原来是猪八戒在卖牛肉和羊肉，店铺上写着牛肉 3 文钱一斤，羊肉 5 文钱一斤。刚才有人买了牛肉和羊肉一共 28 斤。结账时，猪八戒错误地把牛肉算成 5 文钱一斤，把羊肉算成 3 文钱一斤了，结果那人一共付了 100 文钱。那人走之后，其他动物们都在议论猪八戒是亏了还是赚了? 如果赚了，赚多少？如果亏了，亏多少？阿普和牛牛准备帮大家解答这个问题。(1 斤 = 500 克)

好方法 6

多种动物同笼型

①转化为两种动物同笼问题

② 用两次假设法

典题精讲

例 6

有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对。已知蜘蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀。求蜻蜓有多少只。

【解析】

观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有蜘蛛 8 条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。

我们假设三种动物都是 6 条腿,则总腿数为 $6\times 18=108$ (条),所差 118 一108=10(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有 $\left(118-108\right)÷\left(8-6\right)=5$ (只)蜘蛛。这样剩下的 $18-5=13$ (只)便是蜻蜓和蝉的只数。

再从翅膀数入手，假设 13 只都是蝉，则总翅膀数 $1\times 13=13$ (对)， 比实际数少 20-13=7 (对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算，这样蜻蜓只数可求 $7÷\left(2-1\right)=7$ (只)。

举一反三

练习 16

犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头 26 个，脚 80 只，犄角 20 只。已知犀牛有 4 只脚，1 只犄角；羚羊有 4 只脚，2 只犄角；孔雀有 2 只脚，没有犄角。 那么，犀牛、羚羊、孔雀各有多少只？

练习 17

一些奇异的动物在草坪上聚会，其中有独脚兽(1 个头、1 只脚)、双头龙(2 个头、4 只脚)、三脚猫(1 个头、3 只脚)和四脚蛇(1 个头、4 只脚)这四种动物。如果它们共有 58 个头、160 只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的 2 倍，那么独脚兽有多少只？

挑战自我

练习 18

度假结束前，他们想买些纪念品带回去，就去了附近的商场，刚好赶上商场举办购物抽奖活动。奖金有三种:一等奖 1000 元，二等奖 250 元， 三等奖 50 元。共有 100 人中奖，奖金总额为 9500 元。那么，二等奖有多少名?

探索知识巅峰

王伯伯养了一些鸡、兔和鹤。其中鹤白天双足站立，夜间则单足站立；鸡晚上睡觉时则把头藏起来。细心的悦悦发现:不论白天还是晚上， 足数和头数的差都一样，那么，如果白天悦悦可以数出 56 条腿，晚上会数出___个头。